Когда пишется "передовая"?
В каких случаях пишется "передавая"?

В вопросе есть два варианта, а слов, как ни удивительно, целых три. Вот эти слова и объяснение их правильного написания:
Существительное.
"Они были (где?) на передовой". Пишется с буквой "о".
Прилагательное.
"Их идея была (какой?) передовой". Пишется также с буквой "о".
Деепричастие.
"(Что делая?) Передавая друг другу мяч, юные спортсмены получали навыки игры в гандболе". В третьем случае написание слова "передавая", как мы видим, изменилось. После согласной "д" потребовалась буква "а". Её легко запомнить с помощью глагола "передать", в котором ударение позволяет  отчетливо услышать эту букву "а".
                                                                              

Оба варианта написания слов имеют право на существование.
Но это совершенно разные слова с разными значениями.
"Передовая" - слово может быть использовано как существительное (то, что находится на первом плане).
Передовая может быть, например, на фронте.
Небольшой отряд новобранцев сразу был отправлен на передовую." Передовая", как прилагательное.
Передовая дочурка снова надоела рекордное количество молока.Слово "передавая" пишется с буквой "а" в случае, если это деепричастие, образованное от "передавать".
Передавая эстафетную палочку во время эстафеты, главное, ее не уронить.Передавая слова, сказанные подругой о своём парне, сестра некоторые моменты молчала.

Пишется и так и этак, в зависимости от значения слова.  Если речь идет о передовой позиции на фронте (боевом или трудовом всё равно) то пишется буква "о".  Можно проверить - "передок".  "Передовая линия окопов располагалась в трехстах метрах от противника".
А если вы что-то кому-то передаёте, вещь или просьбу, то пишется "а" и проверочное слово "передача".  "Передавая ваш букет цветов, я от себя добавил и слова благодарности".
Ну и в первом случае это существительное (или прилагательное), а во втором деепричастие.

Слово "передовая"  - это прилагательное, женского рода,  отвечает на вопрос - какая?
Разберем его по морфемному составу: "перед-" корень", "-ов-" - суффикс, "-ая" - окончание. В слове "передовая" будем писать суффикс "-ов", потому что в прилагательных суффикс "-ав" бывает только ударным. Например:  "моложавый", "величавый". В безударной позиции пишется суффикс "-ов/-ев". Например: "береговая", "болевая". Также слово "передовая" может являться субстантивированным существительным и отвечать на вопрос - что? или кто?
Пример предложения со словом "передовая":
Раиса Даниловна  передовая работница.  Слово "передавая" - это деепричастие, настоящего времени,  отвечает на вопрос - что делая? Его морфемный состав: "пере-" - приставка, "-да-" - корень, "-ва-" - суффикс, "-я" - окончание. Безударный корень "-да" можно проверить однокоренными словами: "дать", "передать". 
Пример предложения:
Будь осторожен, передавая стеклянную посуду.