Как решить Насколько слова "спаситель" и "спасатель" имеют общее происхождение?.

Изучением происхождения (не путать с образованием) слов занимается этимология.
Часть современных слова русского языка, имеющих одинаковые корни, давно разошлась в лексическом смысле, значительно или не очень.
В частности, оба эти существительные, вопреки имеющемуся смысловому нюансу, связанному более со стилистикой, имеют не только одинаковое происхождение, но и являются однокоренными (общий корень) родственными (общая семантика).
Лексическое значение смотрим в толковом словаре С. Кузнецова:
Как видим, "спасатель" - это и профессия, и спасательный особый транспорт.
У сущ-го "спаситель" иное употребление, хотя речь тоже о спасении:
Оба некогда произошли от общеславянского глагола "пасти".
Смотрим этимологический словарь Г. Цыганенко, второй абзац:
Что касается образования, то оба - суффиксальные производные от глагола "спасти", но образованы по-разному:
спасти - спасать - спаса/тель,спасти - спаси/тель.

Спасатель - это профессия. Или же так называют того, кто кого-то спасает в конкретный момент.
А спаситель - это тот человек, который уже кого-то спас.
То есть, один и тот же человек может быть как спасателем во время опасной ситуации, так и спасителем, если вес разрешилось благополучно.
Слова Спасатель и Спаситель оба существуют в русском языке. И оба написаны совершенно правильно.