Как правильно: почуивший или почуявший?
ПочуЯвший или почуИвший?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Какой? либо что сделавший? Такие вопросы мы задаем к слову, с орфографией которого нам предстоит разобраться. Поэтому мы можем сделать вывод о том, что это не имя прилагательное, а причастие. Оно прошедшего времени, действительное.
Вспоминаем, как образуется этот вид особой формы глагола. Нам нужна основа инфинитива, к которой следует добавить суффикс. Суффикс в данном случае -вш-, а не -ш-. Разберемся с основой неопределенной формы. Сама она для данного причастия - почуять. Ть убираем, суффикс -я- инфинитива сохраняется.
Корректный вариант написания перечислен в вопросе первым.
Почуявший дичь спаниель споро бежал по лесной тропинке.

Слово "почу(я/и)вший" является действительным причастием прошедшего времени и чтобы понять, как правильно пишется "почуЯвший" или "почуИвший" - обратимся к правилам русского языка.
Причастие "почу(я/и)вший" образовано от глагола неопределенной формы "почуять" и здесь пишем ту гласную перед суффиксом "вш", которая стоит в инфинитиве глагола, то есть "я",  "почуЯть - почуЯвший".
Пишем правильно: почуЯвший, так же как и залаЯвший (залаЯть), растаЯвший (растаЯть), засеЯвший (засеЯть)...
Мухтар, почуЯвший чужой запах, мгновенно рванул в сторону открытых ворот.