Как правильно пишется: "между строк" или "между строками"?
Известный фразеологизм "читать между строк (строками)" - как правильно говорить и писать?

В современном языке чаше всего предлог «между» употребляется с существительными (местоимениями, числительными) в творительном падеже – между чем? – между деревьями, между зданиями.  В том числе и словосочетание «между строками» мы используем чаще всего в грамматической форме творительного падежа.
Родительный падеж  сохраняется в фразеологических оборотах, например: « между двух зол». Он допустим и в разговорной речи.
Словоформу «читать между строк» (родительный падеж)  - тоже можно отнести к фразеологизму, поскольку выражение следует понимать в переносном смысле. Это значит понимать скрытый смысл написанного текста.
На основании сказанного можно констатировать, что  возможны оба варианта: «между строками» и «между строк». Но первый является более предпочтительным в современном литературном языке.

Надо знать правило употребления предлогов "меж" и "между".
Предлог: "меж" употребляется со словами в Родительном падеже (кого? чего?), а предлог: "между" − со словами в Творительном падеже (кем? чем?). Предлог: "между" должен употребляться в том случае, когда необходимо дать понять о некой связи, отношениями. Например: "между небом и землёй", "между нами дружба". Предлог же: "меж" употребляется в том случае, когда необходимо дать понять об определённом месте (точке местонахождения, местоположения). Например: "меж глаз", "меж окна и двери".
Пример. Между берегами и меж берегов. Мост между берегами − стало быть мост связывает два берега. Мост меж берегов − стало быть мост не связывает берега и находится, например, посреди реки (разрушенный, затонувший). Другой пример. Человек плавает между берегами − имеется в виду: от одного берега к другому берегу. Человек плавает меж берегов − другими словами, держится на определённом участке воды (например, в центре озера, кружится на одном месте).
Итак, должно быть понятно, что правильно будет: "меж строк" и "между строками". Но! Дело в том, что русскиий язык допускает, чтобы под одним словом подразумевалось другое понятие. Поэтому, употребляя "между строк", всё-таки имеется в виду - "меж строк". И наоборот: "меж строками" - имеется в виду "между строками". Ошибки нету, если имеется в виду смысл (переиначивание).