Как правильно пишется слово "дуэль" или "дуель"? Как правильно писать: дуэль или дуель? Почему? Какое правило?

Интересный лингвистический вопрос! Он касается такой орфограммы, как правописание буквы Э, точнее выбор между буквами Э и Е на письме. В данном конкретном случае — правописание Э после гласных (так как У — это гласная буква). Вот не помню, есть ли сейчас такая орфограмма в школьной программе, но припоминаю, что у нас в лицее её не было. Не изучали мы эту букву Э подробно, а она очень коварная.
Итак, правило таково: в русском языке после гласных букв, за исключением буквы И, для обозначения звука [э] (когда звук [э] идёт непосредственно после какого-либо гласного звука!) пишется буква Э. Кроме небольшого количества слов-исключений (проект, траектория).
У — это гласная буква, и это не И.
Поэтому по общему правилу напишем слово "дуэль" через Э. Но не через Е.
Привожу официальное правило:
                                                                              

Слово "дуэль" иностранного происхождения и иногда возникает сомнением в правильности написания данного слова. Есть французское слово "duel" и латинское "duellum" (война). Согласно правилам русского в середине слова после всех гласных, за исключением гласных "и" и "е" преимущественно пишется буква "э". Например: поэзия, маэстро, дуэнья, фаэтон.
В отдельных случаях после гласных "и" и "е" в середине слова пишется "е". Например, реестр, диета, гигиена, траектория. В слове "дуэль" написание буквы "э" не вызывает сомнений, так как данная гласная стоит после гласной "у".
Правильное написание слова: дуэль.

Сначала о самом слове. Это имя существительное пришло в наш язык русский из французского языка, в котором появилось на основе латинского -- duellum (латинское) - duel (французское). То есть  это слово иноязычное.
В русском языке есть орфографическое правило, указывающее на правильное употребление буквы "э" в заимствованных словах и в начале слов, и в середине.
Оно регламентирует писать букву "э" в середине слова после гласных  а, о, у, ю (исключая букву и), например: поэма, фаэтон,  статуэтка. Есть, как часто бывает,  исключения (например, слова  проект, проекция, феерия). Но выполняется преимущественно указанное правило.
В заданном слове выполняются оба условия для применения указанного орфографического правила -- оно заимствованное и имеет гласную "у" в середине слова, после которой следует вызывающая сомнение буква.
Поэтому  правильно писать  -- дуэль.