Мягенький или мягонький, как правильно писать?
Почему, какое правило?

В современном русском языке нередко мирно уживаются варианты на всех его уровнях, начиная с произношения и завершая стилистикой. Это относится и к имени прилагательному из вопроса.
Существует не два, а четыре  равноправных варианта этого слова: мягенький/мякенький (с суффиксом - еньк-+чередование согласного в корне) и мягонький/мяконький (с суффиксом -оньк-+чередование г//к в корне).
Смотрим орфоэпический словарь И. Резниченко
                                                                              

Давайте разберемся, как правильно писать: мягонький или мягенький.
Возможно ли проверить написание при помощи проверочного слова.
При разборе слова по составу (морфемном) видим, что спорная буква находится в суффиксе.
В русском языке существует правило: если основа прилагательного заканчивается на буквы "г", "к", "х", то пишется "оньк".
В остальных случаях — "еньк".
Например, плохонький, светленький, хорошенький, веселенький, свеженький, простенький, слабенький, высоконький, сухонький.
Если следовать данному правилу, то правильно писать мягонький с "о".
Однако в данном случае, если заглянуть в орфографические словари, то можно убедиться, что оба варианта употребляются равнозначно.
Итак, зафиксируем в памяти, что проверочных слов нет. Необходимо запомнить, что верно и мягонький, и мягенький.

Для того, чтобы определиться, как правильно писать: "мягонький" или "мягенький", понадобится заглянуть в орфографический словарь и вспомнить правила правописания суффиксов в прилагательных.
Для начала давайте проведет морфемный разбор рассматриваемого слова:
"мяг" ― корень;"оньк" или "еньк" ― суффикс;"ий" ― окончание.Сомнение вызывает правописание безударной гласной в суффиксе. Однако правила русского языка нам говорят, что если перед суффиксом в прилагательном стоит буква "г" "к" или "х", то пишем "оньк". В иных случаях всегда пишем "еньк". Поэтому в нашем случае правильно писать "мягонький". Но если заглянуть в орфографический словарь, то выяснится что оба варианта допустимы, хотя языковеды рекомендуют использовать прилагательное с суффиксом "оньк".
Примеры:
Несмотря на потертую обшивку и изношенный вид, диван оказался очень мягонький.Котик, ты мой котик, мягенький животик.

В словарях можно найти два варианта написания: мягонький и мягенький. Поэтому большой ошибки не будет, как бы вы не написали. Но всё же нужно знать одно правило, по которому правильно писать мягонький. По этому правилу после букв "г", "х" и "к" пишется только суффикс "оньк". Например: плохонький, мягонький, широконький.

В русском языке очень легко потеряться в произношениях,потому что он богат даже наличием нескольких ударений у одного слова.Однако совсем не стоит так легко относиться к произношению,так как произношения могут быть разными в виду дикцией разной у людей.А вот написание должно быть только так,как разрешает русский язык.И в этом случае слово "Мягонький" является самым верным,вот слово "Мягенький" - это неверное изложение прилагательного.Гово�рить вроде бы,как можно,однако человек литературы никогда так не скажет.Он выразит свою мысль только так как, Мягонький".А "мягенький",ну это вроде слова из народа,однако конечно лучше все произносить так,как указывает о верности русский язык.У нас и так слишком много того,чего в принципе в русского языке быть не должно.