Как правильно: предложенный или предложеный?
С одной Н или с двумя НН?
ПредложеННый или предложеНый?
Как объяснить правописание?

Правописание объяснить довольно легко:
1) Установить, какой частью речи является данное слово. Это, конечно, причастие. образованное от глагола "предложить".
2) Причастие, как и глагол, от которого оно образовалось, совершенного вида, что подтверждается вопросом - что сделать?
3) Причастие времени прошедшего, страдательный залог, а это значит, что по всем правилам следует писать две буквы Н.
Ответ: предложеННый.
А вот в кратком причастии сохраняется только одна буква Н: предложеНа, предложеНо, предложеНы.

Слово "предложе(н/нн)ый" является страдательным причастием (отглагольное прилагательное) и чтобы понять, как пишется  "предложеНый" или "предложеННый" - вспомним правила русского языка.
Слово "предложе(н/нн)ый" образовалось от глагола совершенного вида (что сделать?) "предложить" и по определению всегда пишется с удвоенной "нн" - "предложеННый".
Товар, предложеННый кладовщиком, был достойного качества.
Николай был доволен соседу по даче за предложеННую помощь.