Как это решить «При оценке» или «при оценивании» – как правильно говорить и писать?Почему?.

Правильно будет и то и другое выражение. Но слово «оценка» используется значительно чаще. Словосочетание «при оценке» имеет тот же смысл, что и выражение «давая оценку». Мы не сможем заменить здесь слово «оценка»  словом «оценивание», например, в таком предложении:
При оценке ее характеристики (или давая оценку) начальник обратил внимание на следующие данные. Точно так же, мы скажем:
При оценке в пять баллов Смирнова одержала победу.Здесь тоже можно употребить только слово «оценка».
Слова «оценка» и «оценивание» являются синонимами. Но, в силу того, что первое из них короче, а, следовательно, более удобно для произношения, в разговорной речи и на письме оно используется значительно чаще.
Например, в таком примере:
При оценивании происходящего, следователь задал несколько вопросов свидетелям. Нам проще сказать:
При оценке происходящего, следователь задал несколько вопросов свидетелям.

Все  зависит  от  конкретных  обстоятельств  использования  того  или  иного  сочетания.  Ведь,  например,  что-то  можно  оценивать  (обстоятельства,  ситуацию,  женские  наряды),  то  есть  осознавать  для  себя,  приходить  к  определенному  пониманию.  А  чему-то  можно  давать  оценку,  то  есть  некие  формальные  или  формализованные  характеристики,  предназначенные  для  внешнего  пользователя.
Так  вот,  если  некоему  обстоятельству  дается  оценка,  то  можно  применять  "при  оценке".  А  если  то  же  обстоятельство  оценивается  для  собственного  понимания,  то  -  "при  оценивании".
"Дал  оценку"  и  "оценил"  все  же  концептуально  существенно  отличаются.

Скажите, пожалуйста, в каком словаре Вы нашли слово "оценивание"?

Правильно и то и другое. Оценка чего либо, оценивание кого либо.