Как пишется частица "не" со словом "существенный"?
Какие правила действуют?

Слитное или раздельное написание "не" (в качестве приставки или отрицательной частицы) с именем прилагательным "существенный" (какой?) зависит от речевого окружения.
Несущественный - пишем "не" слитно, это приставка, при слове нет отрицания или противопоставления с союзом а/но/да, просто утверждается признак, можно подобрать синоним без "не-", напр., "второстепенный". Примеры употребления: В своё оправдание он привёл несущественный (малозначительный) аргумент.
Не существенный - "не" является отрицательной частицей, пишем раздельно, если есть противопоставление с противительными союзами, напр., Довод не существенный, а второстепенный.
При явном отрицании признака частица "не" может писаться раздельно и без союзов, но тогда структура предложения несколько изменится, может появиться пауза, формально передаваемая тире, напр., Довод не существенный - второстепенный.
                                                                              

Слово "существенный" - это качественное прилагательное, отвечает на вопрос - какой?
С приставкой (частицей) "не" пишется прилагательное "существенный" по правилам, относящимся к этой части речи.
Если "не" выражает отрицание признака предмета, которое дополнительно усиливается противопоставлением или наречиями "(отнюдь, вовсе, далеко), тогда пишем сочетание в два слова - "не существенный".
Примеры предложений:
Не существенная причина, а пустяковая. Твои аргументы вовсе не существенные. В остальных случаях пишется прилагательное с "не" слитно - "несущественный".
Например:
На эти несущественные описки в диктанте можно не обращать внимания.