Как следует писать правильно в книге или в книги?"Е" или "И"?
Как следует писать правильно по книге или по книги? "Е" или "И"?
Как следует писать правильно из книги или из книге? "Е" или "И"?

Надо задать вопрос и постараться понять в каком падеже находится слово "книга".
В правилах русского языка есть разное написание окончаний. Это зависит от склонения существительного. Так как предложенное слово женского рода и первого склонения, то в единственном числе оно будет склоняться следующим образом:
им.п. - На столе лежит (что?) книга.
род.п. - Выписал цитату (из чего?) из книги.
дат.п. - Писал сочинение (по чему?) по книге.
вин.п. - Купил интересную (что?) книгу.
твор.п. - Доволен новой (чем?) книгой.
пред.п. - Прочитал рассказ (в чём?) в книге.
Следовательно, в двух первых вариантах правильно писать окончание "е" - в / по книге, а в третьем случае "и" - из книги.
                                                                              

Рассмотрим как следует писать правильно "в книге" или "в книги", "по книге" или "по книги", "из книге" или "из книги;
Правильное написание окончания у существительного первого склонения "книга" будет зависеть от падежа, в котором ого находится;
Приведём примеры:
_Прочитано (в чём?) в книгЕ; предложный падеж, в окончании пишем "Е";
_Учиться (по чему?) по книгЕ; дательный падеж в окончании пишем "Е";
_Взято (из чего?) из книгИ; родительный падеж в окончании пишем "И".

Различные предлоги, которые предложены в связке с существительным "книга", могут говорить о разных падежах. Поэтому выбирая букву "е" или букву "и" для окончания, мы должны анализировать вероятный контекст и действовать по принципу: каков смысл - так и пишем.
"В книг(е?и?)". "Цветок в книге, закладки в книге, иллюстрация в книге" (предложный падеж). "Класть (куда?) в книги" (винительн. падеж, книг не одна, а много). "По книг(е?и?)". "Учиться по книге, изучала по книге" (предложн. падеж). Нужна гласная "е". "Из книг(и?е?)". "Вычитать из книги, выписала из книги, взяли из книги" (родит. падеж). Верна гласная "и".

Если у вас по составу предложения присутствует предлог "В", то тогда правильным вариантом будет "в книге", так как такой предлог ставит данное слово в форму предложного падежа, а в нем существительное "книга", имеет флексию "е".
Тоже самое касается и предлога "по", только он уже ставит существительное "книга" в дательный падеж, но и в нем у данного существительного флексия "е", а потому правильно "по книге".
Ну а в случает с предлогом "из", тут уже должно быть окончание "и", так как данный предлог ставит слово в родительный падеж, а в нем слово книга имеет окончание "и" и верным вариантом соответственно является - "из книги".

Я хочу разделить этот вопрос на три части, несмотря на то, что весь он касается одного слова - "книга". 
Очень многие имена существительные, в том числе и "книга", в русском языке имеют немало грамматических форм. А если предположить, что почти каждая из этих форм может ещё и находиться в сочетании с разными предлогами, то таких предложно-падежных сочетаний будет для каждого слова огромное количество. Поэтому нам будет удобнее разобрать по отдельности, какое окончание в слове "книга" необходимо применить, учитывая различные предлоги.
"В книге или в книги?" - Мы видим, во-первых, предлог "в", а во-вторых можем задать к слову "книга" вопрос - "в чём?".  Вероятность того, что мы записываем форму предложного падежа, крайне велика. Вспоминаем правописание падежных форм сущ-ных первого склонения и останавливаемся на окончании "е". А теперь второй вариант. Вспомним и о множественном числе. Зададим вопрос "куда?". Если книг много, то мы напишем: "положить в книги", "влюбиться в книги". 
"По книге или по книги?" - Первым делом задаём к слову "книга" нужный падежный вопрос - "по чём?". У нас снова предложный падеж, но с другим предлогом, который впрочем не повлияет на окончание "е" - "учить по книге".
"Из книги или из книге?" - Применим тот же самый приём, который использовали выше: вопрос "из чего?" говорит о родительном падеже, поэтому вариант "(выписать) из книги" будет единственно правильным.

Конечно, прежде чем дать ответ на вопрос, выбрать правильное окончание в слове, необходимо вспомнить склонение существительного по падежам.
Данное слово является существительным первого склонения, исходя из чего делаем выбор:
написано в книге (вопрос звучит "в чём?"). В данном случае слово стоит в предложном падеже (окончание "е"). учиться по книге (вопрос "по чему?"). В этом случае, слово в дательном падеже с окончанием "е". почерпнуто из книги (из чего?). Теперь слово используется в родительном падеже с окончанием "и". Смотря на вышеуказанные примеры, становится понятно, что прежде чем написать окончание в слове, необходимо задаться к нему вопросом и выяснить его падеж.

Чтобы не ошибиться в правильном написании падежных окончаний, надо разобраться в каком числе стоит слово и в каком оно склонении.
Слово «книга» - это существительное первого склонения и женского рода.
Предлог «в» подсказывает нам, что слово может стоять либо в предложном, либо в винительном падежах.
Окончание слова «-и» - это падежное окончание существительного в винительном падеже и множественном числе – во что? – в книги.
Если слово стоит в предложном падеже, то в единственном числе на конце будет писаться буква «-е» - в чём? – в книге.
Предлоги «по» и «из», предложенные в вопросе, свидетельствуют о том, что слово стоит в дательном падеже – по чему? – по книге, - окончание «-е».
Предлог «из» - это предлог родительного падежа – из чего? – из книги, - окончание «-и».

Все будет зависеть от падежа.
Приведем в пример несколько предложений, чтобы понять как правильно писать.
"В книге ребята нашли ответ на вопрос". Задаем вопрос "в чем?" - "в книге", у нас предложный падеж. В предложном падеже правильно писать - "в книге".
"К книге нужно бережно относиться". Задаем вопрос "к чему?" - "к книге" - это у нас дательный падеж. Правильно писать "книге".
"Из этой книги мы узнали много нового и интересного". Задаем вопрос "чего?" - "книги" - это родительный падеж. Правильно писать - "книги".
А вот вариант "из книге" будет неправильным.

Все варианты правильные в зависимости от фразы и смысла предложения. Например правильные варианты такие.
Я учился по книге. Дательный падеж, отвечает на вопрос "по чему?".
Я взял информацию из книги. Родительный падеж, отвечает на вопрос "из чего?".
Про это было написано в книге. Предложный падеж, отвечает на вопрос "в чём?".

Само слово действительно относится к первому склонению и отвечает на вопрос " кто? что?", книга. Из всех падежей только родительный в этом склонении имеет окончание"и". Соответственно:
Ответ в книге( отвечает на вопрос в чем?)2.Ответ по книге( отвечает на вопрос по чему?)
Ответ из книги( отвечает на вопрос из чего?)Надеюсь наши ответы помогут школьникам лучше разбираться в склонениях и падежах русского языка. Автору вопроса респект и уважение.

Так как существительное книга относится к первому склонению:
1.в книге (предложный падеж);
2.по книге ( предложный падеж);
3.из книги (родительный падеж).