Или может быть: пратевоядие, пратеваядье, пративоядье?
Какие орфограммы присутствуют в слове?
Как объяснить правильность написания? Какое правило?

Да, в этом сложном слове из двух корней можно кое-что проверить и правильно написать.Во первых, разложим это слово по частям, это средство, которое дается против яда, чтоб человек выжил. Такие противоядия исторически достоверно принимал царь Понта и Боспора Митридат Евпатор ещё во втором веке до нашей эры. Ну, и от него пошли товарищи подражатели, в основном из царских династий. Написание -о- в первом корне явно доказуемо, ибо в слове прОтив - -о- в ударной позиции. Написание -и- в первом корне спокойно проверим через однокоренное слово -протИвник- где -и- в ударной позиции.Второй корень в слове -я-д, есть и соединительное гласное -о-, вот почему пишем -о-. Итак, всё проверил: слово пишется вот так - Противоядие. 
                                                                              

Для того чтобы определиться с правильным написанием, давайте сделаем морфемный разбор слова.
пр_тив - корень
о - соединительная буква
яд - корень
и - суффикс
е - окончание
Таким образом, можно подобрать проверочное слово для объяснения орфограммы в корне: проверяемая безударная гласная в корне слова. Этим словом является: прОтив, тогда правильное написание будет следующее: прОтивоядие.

Противоя́дие или антидо́т (от др.-греч. ἀντίδοτον, букв. — даваемое против) — лекарственное средство, прекращающее или ослабляющее действие яда на организм.
против, яд — корни,
о — соединительная гласная,
и — суффикс,
е — окончание

Противоядие.
Это слово состоит из двух слов против и яд. О- это соединительная гласная. ИЕ- это окончание