Как правильно пишутся словосочетания слитно, раздельно или через дефис
"день-ото-дня" или "день-за-днем"
Значение этих выражений одинаковое?
Они взаимозаменяемы, смысл "день ото дня" и "день за днем" один и тот же?
Примеры в предложениях.

Оба эти разговорные сочетания (не словосочетания, поскольку в них нет главной и зависимой части) можно отнести к устойчивым, правда, она у них разной степени: в первом элементы теснее связаны по смыслу, во втором - более свобдны.
Оба пишутся раздельно, в три слова.
При этом назвать синонимичными данные сочетания нельзя, поскольку есть отличия в их лексическом значении, следовательно, и употребляются они в различных ситуациях.
Обратимся к толковому словарю Т. Ефремовой.
.
Как видим, второе имеет более уточнённое значение - непрерывность действия. Вспомним у Твардовского :
Первое же показывает изменения, но не действие, напр., День от дня раненому становилось всё хуже.
                                                                              

Правильна форма написания и употребления словосочетания  «день ото дня»,  имеющая значение  "изменяться  постоянно, с каждым днём». Например: «Она хорошела день ото дня», "День ото дня больному становилось лучше", то есть состояние больного  постепенно менялось, с каждым днём становясь всё лучше и лучше.
Другая  форма слова - «день за днём» считается устаревшей  (Толковый словарь Ефремовой, 2000).

Каких-либо правил, на основании которых выражения можно писать через дефис нет. Поэтому пишем день за днем, а также день ото дня исключительно раздельно, в три слова.
Это наречные сочетания - как? - имеют неделимое лексическое значение.
Если говорить о значении данных выражений, то между ними есть различия.
Если в первом случае - день за днём -идет упор на однообразие, то во втором - день ото дня - на изменения в начальном состоянии.