Помогите решить Как определить, являются ли родственными словами слова "урод" и "уродился"?.

Родственными современные слова могут быть либо по происхождению (просто родственные), либо по лексическому значению (общий корень, однокоренные родственные).
Со временем некогда родственные однокоренные слова расходятся в семантике (приобретают или теряют прежний смысл), но остаются родственными этимологически.
Слова "урод" и "уродиться" современная морфемика не считает однокоренными родственными, т.к. у них разные корни: урод - всё слово является корнем, а в глаголе корень -род- и приставка у-(урод/и/ть/ся). В вопросе глагол в личной форме мужского рода прошедшего времени, с нулевым окончанием - у/род/и/л/_/ся.
А вот с точки зрения этимологии они родственны.
Оба ведут происхождение от общеславянского слова "род".
Смотрим этимологический словарь Н. Шанского.