Твердый или мягкий знак надо ставить в слове "неизъяснимый?
Неизъяснимый или неизьяснимый, как правильно, грамотно?

Разобрав заданное слово по составу, убедимся в том, что оно имеет интересующие нас две морфемы -- приставку "из-", оканчивающуюся на согласный звук, и корень "ясн-", начинающийся с гласной "я".
Какой же разделительный знак между ними правильно написать -- твёрдый или мягкий?
Применяем правило орфографии, регламентирующее после приставок, оканчивающихся на согласную, перед буквами е, ё, ю, я обязательно писать разделительный знак ъ, например: подъезд, разъём, предъюбилейный,  разъяснить.
Перед другими гласными ъ не нужно писать, например: собезьянничать, изукрашенный, разубедить.
В соответствии с изложенным правилом   с твердым разделительным знаком пишется слово неизъяснимый.
Подаренный букет вызвал у девушки неизъяснимый восторг.
                                                                              

Здесь речь о разделительном знаке после приставки. После приставок не пишется мягкий знак, может писаться только твердый. Поэтому пишется -- "НеизЪяснимое". Перед гласными а, у, о, э после приставок разделительный знак не ставится вообще.