Как правильно писать слово: "предварять" или "предворять"? "Предворить" или "предворить"?
Какое проверочное слово ко всем этим формам?

И деепричастие "предв(а?о?)ряя", и форма глагола 3 лица "предв(о?а?)ряет" имеют один и тот же корень, поэтому пишутся аналогично. Это родственные слова, конечно.
Оба слова никак не связаны с двором. Поэтому предостерегите себя от ложной проверки  именем существительным "двор". Это не проверочное слово.
Итак, деепричастие пишется правильно "предваряя", а форма третьего лица - "предваряет". Писать с гласной "о" ("предворяет" и "предворяя") нельзя.
Думается, что объяснение можно поискать в этимологии. Я имею в виду происхождение от церковнославянского "прѣдварити". Но в школе лучше гласную второго слога предложить как словарную, то есть не подлежащую проверке.