Сколько вообще слов в нашем в русском языке?
Возможно ли посчитать? Или есть где-то информация?

Да, проект обновления Правил русской орфографии и пунктуации на сайте правительства России во введении называет число слов в наиболее свежей версии большого орфографического словаря русского языка, составленного учеными лексикографами из институтов Российской Акалемии наук, в двести тысяч. Но это не значит, что слов в русском языке ровно столько и всегда было так и что столько же слов во всех толковых словарях русского языка: каждую неделю мы записываем из СМИ на русском языке новые для нас слова, потом они проверяются на новизну по электронным базам данных публикаций СМИ и книг и могут попасть в ежегодные словарные выпуски  "Новые слова и значения" при из упоминании не менее трех раз в разных сюжетах, а если эти неологизмы попадутся и потом, они могут войти в стабильные словари русского языка - орфографические, толковые, произносительные, синонимов. А часть слов от древнерусских типа гридь до царских и советских типа губкомхоз или райисполком выходят из употребления и в словарь современной лексики могут не попасть, как и в просто толковый словарь или орфографические. Они будут в старых словарях и в новых словарях русского языка прошлых эпох - исторических словарях русского языка. Сугубо диалектные, местные слова не относятся к общерусской лексике и отражаются только в словарях говоров данного региона или в многотомном академическом Словаре русских народных говоров, тома которого издаются по очереди не первый десяток лет, и на письме эти слова могли вообще до сбора учеными не появлятся. Это тоже слова русского языка, но его общей и литературной разновидности, как и жаргонизмы различных групп людей, от молодёжи вообще до уголовников или программистов и многие технические, юридические, медицинские, спортивные, морские, военные, музыкальные термины в виде отдельных слов и словосочетаний; они попадают в специализированные толковые словари данного типа жаргона или области деятельности  Но жесткого барьера нет, и жаргонизмы или медицинские либо военные и спортивные термины могут стать общеизвестными, проникнуть в общую речь носителей русского языка, а оттуда в общие словари русского языка на разные периоды времени.
Кареты из восемнадцатого века я видел в музеях и по телевизору, в книге про Золушку и знаю, что это закрытое четырехколесное транспортное средство на конной тяге , а вот бричку, пролетку, тарантас, кибитку, ландо, шарабан скорее всего назову на картинке неправильно, как и современный паркетник или кроссовер. Кроссовер как смешение стилей музыки я узнать могу. На сайте академического Института лингвистических исследований в Петербурге выложены на общий доступ коллективная монография и комплексный
Это результат сбора и обработки свежих данных по актуальной, хотя и не обязательно новейшей лексике, тенденциях словообразования, заимствований, языковой игры, орфографии , стилистики, отношениях в обществе, а в монографии даются сравнения с другими странами.
Целый ряд качественных словарей русского языка доступен для поиска в них слов через сайт Грамота ру, а тексты собирают для компьютерной обработки и извлечения информации специалисты по корпусной лингвистике. Для нас самые известные корпусы это Национальный корпус русского языка и Хельсинкский корпус русского языка. Объемы корпусов измеряются в количестве словоупотреблений.
Толковые словари собственно русского языка издаются с конца восемнадцатого века, когда в 1783 году открылась гуманитарная Академия Российская. Словарь Академии Российской содержал 43357 слов, разделенные на несколько томов. Владимир Иванович Даль, современник Пушкина, собрал в свой словарь порядка двухсот тысяч слов как общеупотребительных, так и из русских говоров со всей страны, и хотя в орфографическом столько же, их состав явно отличается, и старые местные слова во многих случаях остались малоизвестны и вышли из употребления, так что энтузиаст народной речи Солженицын отобрал некоторые яркие для ввода в оборот и включил в состав своего словаря русского языкового рпсширения. Язык Советской эпохи до войны отражен в четырехтомном словаре под редакцией Дмитрия Николаевича Ушакова, где есть и пласт дореволюционной лексики с пометой устаревшие. Там около ста тысяч слов и выражений. Такой большой по объему словарь регулярно обновлять на бумаге невозможно, и для более массового читателя стал выходить однотомный словарь сотрудника Ушакова Сергея Ивановича Ожегова, дело которого продолжила Наталья Юльевна Шведова, и там было от пятидесяти до 82 тысяч слов в разные годы. После Второй Мировой войны начал выходить большой Академический словарь, которая официально называется Словарь современного русского литературного языка. Его закончили выпускать в шестидесятые годы запятая и он состоит их 17 толстых томов. На его основе шестидесятые годы выпустили 4т Малый Академический словарь. Второе издание большого академического словаря началось в 1990-е годы, но прервалось. В малом словаре Лопатиных начала девяностых годов около тридцати пяти тысяч слов, а в однотомном Большом толковом словаре под редакцией Сергея Александровича Кузнецова конца девяностых годов примерно сто тридцать тысяч слов. История этих словарей и выходные данные этих и других можно увидеть на специальной странице сайта gramota.ru Сейчас продолжается третье издание большого академического словаря предварительно на 150000 слов.   
Открыл сейчас русскую версию пополняемого Викисловаря, так там на данный момент в категории "Русский язык" *больше 443 000 страниц*, и на них есть толкования среди прочих сведений, но кроме статей о словах нарицательных есть статьи о некоторых именах собственных и о словообразовательных элементах - значимых частях слов, и об устойчивых выражениях. Богаты и русские бумажные энциклопедии и Википедия, но в заголовке статьи в энциклопедии может быть не одно нарицательное слово, а составной термин в виде словосочетания; фамилия, имя и отчество человека; иностранная буква; небуквенный знак (ноты, валюты, математического оператора и пр.), число - например, номер года или века в статье о годе, веке или одноименном произведении искусства типа романа Виктора Гюго "1793 год". Википедия на русском языке одна из самых больших по количеству статей, но в ней есть немало страниц служебной информации технического и организационного характера, а также страниц рпзрешения неоднозначности, на которых указаны ссылки на разные статьи об однофамильцах или других объектах описания с полностью или частично совпадающими названиями.
                                                                              

Так словарей-то много. Я знаю три, Ожегов, Даль, Ушаков сейчас подсмотрю, извините. Ух! Там наверное ещё с десяток. Включая словарь тюремной лексики.
В среднем нужно ориентироваться на 150-200 тысяч слов. В Английском класическом, вместе с устаревшими около 250 тысяч. В современном английском уже больше миллиона.
Для общения в повседневной жизни хватит 6-15 слов. Шутка.