Как правильно: "журналист" или "журналистка", "писатель" либо "писательница"?
Правильно ли будет сказать(написать): журналистка Иванова, писательница Кузнецова?
Есть ли в русском языке слова "журналистка" и "писательница"?

Большинство названий для обозначения профессий, рода занятий, должностей, званий  в русском языке  являются существительными мужского рода, например: врач,  доцент, редактор, мастер спорта и др.
Вместе с тем существуют и параллельные названия для лиц женского пола, когда профессия в равной мере связана как с женским, так и с мужским трудом (например: лаборант - лаборантка, артист – артистка, преподаватель – преподавательница и др.).
К ним относятся и  названные в вопросе  парные образования «журналист – журналистка, писатель – писательница», которые находят у нас  активное употребление, но вместе с тем и некоторые сомнения в правильности использования этих слов. Сравним найденные примеры:
Во время интервью Путин пошутил над американской журналисткой... Светлана Сорокина, общественно признанный журналист,  родилась   15 января 1957 года... Дарья Донцова известна  как писатель, автор  иронических детективов... Писательница Дарья Донцова – гость нашей телепередачи, которая расскажет нам о том, как пишется роман... Мы видим свободное употребление названий профессий как в форме мужского, так и в форме женского рода. Обращаемся к Правилам русского языка и тогда  выясняется, что оба варианта правильны, если они используются с учётом стилей речи. Так, в  официально-деловом стиле предпочтительно сохранять форму мужского рода (см. варианты 1, 3), а в обиходной речи – форму женского рода (см. варианты 2, 4).