Как правильно следует писать_"о исполнении" или "об исполнении"? "о" или "об"?

Об исполнении или о исполнении пишется с предлогом "о" или "об", можно определить, если рассмотреть грамматическую форму слова "исполнение".
Существительное среднего рода "исполнение" имеет конечное буквосочетание -ие. Имеем в виду, что такие слова в форме предложного падежа отличаются от существительных среднего рода (поле, море) окончанием -и.
Убедимся в этом:
и. п. (что?) исполнение, стеклО
р. п. нет (чего?) исполнения, стеклА
д. п. отдадим предпочтение (чему?) исполнению, стеклУ
в. п. (что?) исполнение, стеклО
т. п. интересуемся (чем?) исполнением, стеклОм
п. п. думаем (о чём?) об исполнении, о стеклЕ.
Как видим, в форме предложного падежа "об исполнении" употребляем предлог "об". Слово начинается с гласного звука "и", поэтому предлог заканчивается согласным для удобства произношения:
об исполнении желаний;
об исполнении решения суда;
об исполнении обязанностей;
об исполнении бюджета федерального фонда обязательного медицинского страхования.
Аналогично употребляется предлог "об" в сочетаниях с существительными, начинающимися с гласных:
зацепился об ящик;
ударился об угол.
Хотя отмечу, что предлог "об" может употребляться со словами, начинающимися на согласные:
ударить об стену;
стукнуть об пол;
идти рука об руку.
                                                                              

Какой же предлог употребить в сочетании с предложенным именем существительным -- "о" или "об".
Есть правило в русской орфографии, оно очень простое, легко запоминается. И регламентирует это правило писать предлог "о" перед словами, начинающимися с согласной буквы (звука).
Например. Расскажите о родителях,  о братьях, о товарищах, о службе, о космодроме, о йогурте, о Йемене.
Предлог "об" пишется перед словами, начинающимися с гласных а, и, о, у, э.
Например. Прочитала об астрономе, об инженере, об открытии, об узелковом вязании, об электропечи.
В соответствии с этим правилом правильно употребить в речи сочетание об исполнении.
Доложите об исполнении приказа командиру.
Заметьте: говорим о езде, о ёлке, о юноше, о южном побережье. Почему? Да потому, что эти гласные буквы в начале слова обозначают два звука, и первый звук й - согласный (я --  [йа] и т.п.)
Это нужно учитывать. Впрочем, чаще всего люди говорят подобные сочетания слов правильно, думаю, потому что все-таки удобней и как-то быстрее, без запинок произносится, например,  "об отпуске", а не "о отпуске".

Рассмотрим какой предлог нам следует ставить перед словом "исполнение";
По правилам русского языка, если следующее за предлогом слово начинается на гласные буквы (-А_О_Э_У_И), то следует писать предлог "об";
Следовательно правильно следует писать-"об исполнении".

Исполнение - это существительное (вопрос Что? можно к нему задать), начинается это существительное на гласную букву "И".
Если нам надо просклонять слово по падежам, то возникнет необходимость в предложном падеже использовать предлог О или Об.
По правилам, слова, начинающиеся на гласную "И", пишутся с предлогом "Об".
Так и удобнее, и благозвучнее звучит слово.
Поэтому верное написание будет таковым: об исполнении.
Об исполнении врачебного долга Вера Петровна помнила всегда.
Скрипач не мог уснуть вторую ночь и думал об исполнении своей партии в предстоящем концерте.
Об исполнении этой роли мечтали многие актрисы.

Правильно, об исполнении, так как слово начинается с гласной буквы. Например, об угрозе, об игре, об уважении и так далее. Если слово начинается с согласной буквы, пишется предлог о. Например, о соглашении, о договоре, о любви.