Как правильно говорить: "следовать (кому)" или "следовать (за кем)"?
Как пишется: "последовать (за чем-то)", "последовать (по чему-то)" или "последовать (чему-то)"?
Например: "следовать примеру" или "следовать за примером"?
Например: "следовать установке" или "следовать за установкой"?
Например: "следовать пути" или "следовать по пути"?
Например: "следовать моде" или "следовать за модой"?
Например: "следовать правилам" или "следовать за правилами"?

Вопрос весьма интересен и связан с таким грамматическим явлением, как управление падежом зависимого слова двумя однокоренными глаголами: следовать и последовать.
Глагол следовать многозначный и в каждом из своих значений управляет определёнными падежами, в одних значениях – с предлогами, в других – без предлогов.
Глагол следовать в значении «идти, перемещаться, двигаться, ехать, лететь» требует употребления при себе существительного (местоимения):
в творительном падеже с предлогом за (за кем-то, за чем-то): следовать за кем? за родителями, за мной; следовать (за чем?) за автобусом, за караваном;в дательном с предлогом по (по чему-то): следовать (по чему? где?) по пути, по дороге, по трассе;в родительном с предлогом до (до чего-то): следовать (до чего? докуда?) до Москвы, до станции; предлог до с родительным падежом может выражать и временные отношения (до каких пор?): следовать до конца жизни, до вечера, до заката;в винительном падеже с предлогами на и в (куда-то): следовать (куда?) в лес, в Москву, на станцию, на север;в предложном с предлогами на и в: следовать (на чём?) на подводах, на шхуне; следовать (в чём?) в работе, в жизни.Добавлю: в школе все приведённые в качестве примеров словосочетания относят к такому способу связи подчинительной, как управление, в вузах же случаи употребления при глаголе следовать существительного с предлогом, к которому, помимо или вместо вопроса падежного, можно задать вопрос куда? докуда? где? как? до каких пор? назовут падежным примыканием.
В значениях «появляться, наступать, происходить после чего-то» и «находиться, располагаться, непосредственно за чем-либо» этот глагол употребляется тоже с творительным падежом и тоже с предлогом за, но при этом сам глагол может быть употреблён только в формах 3-го лица или прошедшего времени: примирение следует (за чем?) за ссорой; день следовал (за чем?) за днём; спальня следовала (за чем?) за залом; сужение дороги следует (за чем?) за поворотом, пять следует (за чем?) за четырьмя.
Если у глагола следовать значение «придерживаться чего-то, руководствоваться чем-то, согласно чему-то поступать», а также «поступать подобно кому-то», то при нём употребляется склоняемое слово в дательном падеже без предлога: во всём следовать (чему?) моде, правилам, установке, примеру старших, совету; во всём следовать (кому?) брату.
Глагол последовать – видовая пара глагола следовать. Он тоже многозначный, имеет те же значения (хотя и не все) – с поправкой на вид. Опять же форма управляемого этим глаголом склоняемого слова непосредственно зависит от значения глагола.
Глагол последовать управляет:
падежом творительным с предлогом за – в значениях «пойти, поехать, отправиться вслед» и «появиться, наступить, произойти, совершиться после чего-то»: последовать (за кем?) за ними; вальс последовал (за чем?) за танго;падежом дательным без предлога – в значении «согласно чему-то поступить»: последовать (чему?) примеру, совету.Нередки и случаи употребления одного и того же существительного при глаголах следовать, последовать в разных падежах – при этом у самого глагола семантика, как правило, разная, да и управляемое существительное порой тоже употреблено в разных значениях:
следовать моде («придерживаться, руководствоваться») – следовать за модой (идти вслед – в переносном значении);следовать выбранному пути («придерживаться») – следовать по пути (идти, двигаться – в прямом и переносном значении);следовать / последовать («согласно чему-то поступать / поступить») установке (направленность целевая, ориентация на что-то) – следовать / последовать («появиться, после чего-то») за установкой (орудием): За последней ракетной установкой последовала колонна боевых машины пехоты).                                                                              

Говорят "следовать чему-то" (реже "кому-то", например, Ошо или Марксу - в смысле, их идеям) или "следовать за кем-то / чем-то". "Следовать по кому-то" - не говорят совсем, но можно следовать "по чему-то", например, по маршруту, по пути номер 5.
Разберем описанные Вами случаи.
1) "Следовать примеру",  "следовать установке", "следовать правилам"  - только так.
2) "Следовать пути" - если путь в переносном смысле. Идея.
"Следовать по пути"- в прямом смысле: поезд следует по пути номер 5.
3) "Следовать моде" или "следовать за модой" - можно и так, и так. Сразу вспоминается Агния Барто: "Но, следуя за модой, себя не изуродуй!" Но сейчас чаще говорят "следовать моде".
"Следовать за" - обычно употребляется с одушевленным существительным или заменяющим его местоимением: "И ад следовал за ним".