Русский язык 3 класс.
Слово пятёрка - какая часть речи?
Пятый - какая часть речи?
Пять - к какой части речи относится?

Пять (сколько?) - числительное количественное; два, три, десять (можно записать цифрами на доске или бумаге).
Пятый (который?) - числительное порядковое; второй, третий, десятый
Пятёрка(что?) - имя существительное, так же, как и "двойка", "тройка", "десятка" и так далее (нельзя записать цифрами).
Четыре - числительное, а четверть - существительное.
                                                                              

Слова, имеющие числовое значение, могут принадлежать:
-к именам числительным:
-количественным ( пять, пятнадцать, восемьдесят, сто, пятьсот),
-порядковым (пятый, пятнадцатый, восьмидесятый, сотый, пятисотый),
-к именам существительным (пятёрка - существительное, неодушевлённое, пятилетка, пятиэтажка),
-к именам прилагательным (пятилетний, пятиэтажный, пятикилометровый, пятитонный),
-к наречиям ( впятером играем, впятеро увеличить, в-пятых, замечу),
-к глаголам (упятерить, упятерять).
То есть частеречная принадлежность весьма разная, в зависимости от ОГЗ (общего грамматического значения) лексемы.

Слова русского языка, содержащие в корне "пять", могут нести различные функции, отвечать на разные вопросы, соответственно оказываются принадлежащими к разным частям речи.
Вопрос сколько? Количественное имя числительное: пять кирпичей осталось, пятеро женщин собрались.
Вопрос какой? Порядковое имя числительной, например : пятый соискатель на вакансию.
Вопрос что? Имя существительное, например: пятёрка (оценка, денежная купюра), пятак (монета, нос поросёнка).
Вопрос какой? Имя прилагательное, например: пятигранная башня, пятиактный спектакль.
Вопрос как? Наречие, например: впятером сбежали с урока, в-пятых (перечень аргументов).

Пятёрка - отвечает на вопрос Что? Следовательно, это имя существительное. Желаю, чтобы все школьники в своих дневниках этих пятерок набрали как можно больше. Это же слово является названием цифры 5.
Пятый - отвечает на вопрос Который? и является порядковым числительным.
Пять - отвечает на вопрос Сколько? и является количественным числительным. Так же записывается цифра 5.

Папа Арсения открыл дневник и увидел, что по математике у сына стоит (что?) пятерка.
На вопрос (что?) отвечает существительное.
Пятерка -существительное.
В буфете стоят (сколько?) пять шикарных фужеров.
В вазе букет из (скольки?) пяти хризантем.
Вопрос (сколько?) выясняет количество.
Пять является количественным числительным.
За четвертым последует и которое?) пятое предупреждение.
В строю по росту Евгений (который?) пятый.
Здесь у нас порядковое числительное.
Итак, мы определили что:
Пять - числительное  количественное.
Пятерка- существительное
Пятый пятая,пятое или пятые - тоже числительное, но порядковое.