Это широко известная фраза является примером многословия. Дело в том, что санкции сами по себе предполагают штраф. Как можно изменить фразу, чтобы она звучала более корректно?

Написание вполне корректно и многословие здесь не при чем. Потому что санкция - это воздействие на нарушителя какого-либо законодательного акта или юридического договора, каковое может проявляться в разных формах. Штрафная санкция - наказание в виде штрафа, но может быть, например, санкция в виде административного ареста, выплаты неустойки, увольнения со службы и т.п.
                                                                              

Не совсем так. Санкции могут быть установлены и проводимы в разных формах: в виде запрета на какой-либо деятельности, запрета на продажу или покупку, увольнения, ареста, изъятия имущества, санкции против другого государства или отдельных его лиц. Штраф тоже входит в список санкций, поэтому словосочетание "штрафные санкции" менять не имеет смысла.

Санкции бывают самыми разными - дисциплинарными, уголовными, имущественными и т.д. Лишение свободы - это санкция, увольнение - тоже санкция, запрет на въезд в страну - тоже санкция. Штрафные санкции - лишь один из видов санкций, и слово «штрафные» имеет в этом словосочетании не тавтологический, а дефинитивный характер.

Фразу менять не надо. Она и так вполне корректная.
Потому, что слово "санкция" означает не только штраф, но и другие методы как наказания, так и поощрения.
Поэтому, человек говорящий просто "санкция" рискует быть непонятым или недопонятым.

Санкция — есть не что иное, как элемент правовой нормы, который предусматривает неблагоприятные последствия для лица, нарушившего содержащееся в такой норме правило, те есть штраф подразумевается в самом определении этого термина.
Мне кажется, что правильнее было бы написание: применить санкции или обложить штрафом.