"Брежный" и "брежно" - если ли такие слова в русском языке?

Если заглянуть в толковый словарь Даля - то слово "брежный" есть. Синонимы этого слова являются бережливый, бережный. Однако оно практически не используется в письме и речи, поэтому при написании сочинения или другой письменной работы лучше использовать слово "бережный".
Кстати, в словаре Ожегова такого слова не нашёл.

Нет, есть "небрежный"/"небрежно", без не они не употребляются. Так же, например, и слово "негодовать".