Как следует писать правильно на расстоянии или расстояние? "и" или "е"?

Слово «расстояние» - существительное среднего рода, второго склонения, неодушевленное, отвечает на вопрос «Что?».
Возможны оба варианта написания слова с предлогом «на»: «на расстояние» и на «расстоянии».
Как известно, предлог «на» употребляется только в двух падежах: в винительном и  в предложном.
По правилам склонения существительных среднего рода на «-ие» в винительном падеже будет окончание «-е». Вопрос к слову: «на что?» - на расстояние.
Вот примеры предложений:
Отойди от меня, пожалуйста,  на расстояние трёх шагов. Несмотря на расстояние более 300 км, мы продолжали ездить друг к другу в гости каждый год. Если слово стоит в предложном падеже, тогда будем иметь на конце «-и». Вопрос к слову: «на чём?» - на расстоянии.
Примеры с этим словом в предложном падеже:
Чувства проверяются  на расстоянии.Дальнозоркие люди лучше видят на расстоянии.                                                                               

Невозможно дать однозначный ответ на вопрос, не зная, в каком контексте (падеже) употреблено существительное "расстояние".
Возможны оба варианта:
Предложный падеж (на чем?) - пишется "на расстоянии" с буквой И на конце. Например, Объект находился на расстоянии пушечного выстрела.Винительный падеж (что?) - пишется "на расстояние" с буквой Е на конце. Например, противник подошёл на расстояние пушечного выстрела.Ничего не меняется и в том случае, если между предлогом "на" и существительным "расстояние" вклинится дополнительное слово: на большое расстояние (винительный падеж), на большом расстоянии (предложный падеж).

Написание окончания у данного нам слова будет зависеть от падежа в котором оно находится;
Предлог "на" перед словом говорит нам о том, что существительное "расстояние" может находится в предложном и винительном падеже;
Если слово в предложном падеже, то в окончании пишем "и"-(на чём?) на расстояниИ;
Если в винительном падеже, то пишем в окончании "е"-(на что?) на расстояниЕ.

Существительное среднего рода — расстояние в ед.ч., Им.п. отвечает на вопрос -что?, окончание -ие. Если мы употребим это слово в других падежах, то окончание будет меняться.
Далее следуем правилу русского яз., в котором говорится, что существительные сред. рода, ед. ч., заканчивающиеся в Им. п. на -ие (сравнение, желание, обвинение и пр.), будут иметь окончание в Вин. п. -ие, в Предл. п. -ии.
С предлогом "на" возможно оба варианта (-ие/-ии).
Можем просклонять — расстояние — по падежам и проверить правильность написания:
Им.п. - (что?) Расстояние было гораздо больше, чем казалось на первый взгляд.
Род.п. - Нет такого (чего?) расстояния, которое меня остановит.
Дат.п. - По всему (чему?) расстоянию от дома до школы тянется берёзовая аллея.
Вин.п. - Деревья посажены вдоль аллеи в два ряда (в/во/на что?) на расстояние, близкое друг к другу.
Твор.п. - Только (чем?) расстоянием и временем можно проверить настоящую дружбу.
Пред.п. - Наша дружба прошла проверку (о/в/на чём?) на расстоянии тысяч километров.

На расстоянии и на расстояние пишется с буквой "и" или "е" в зависимости от падежной формы существительного в определенном контексте.
Разберемся, в каких случаях слово "на расстоянии" пишется с окончанием -и, а когда - с окончанием "е" на расстояние".
Исходное слово "расстояние" имеет форму среднего рода (оно, мое расстояние) и, обратим внимание, заканчивается буквосочетанием -ие.
В форме предложного падежа такие существительные имеют окончание -и в отличие от типичного окончание -е существительных среднего рода.
Сравним:
(на чём?) на поле, на дереве, на крыльце;
(на чём?) на телевидении, на обсуждении.
Слово "на расстоянии" в форме предложного падежа имеет окончание -и:
На расстоянии этот звук слышится нечетко.
На расстоянии = на большом расстоянии.
Слово "на расстояние" пишется с буквой "е" в окончании, если это форма винительного падежа существительного.
На расстояние метра от двери поставим комод.
Поставим (на что?) на расстояние.
Примеры
На расстояние не влияет скорость движения.
Передача звука и изображения на расстояние давно интересовала людей.

Вопрос орфографический, задан о правописании изменяемой части слова - окончания.
Перед нами простой предлог на и имя существительное, начальная форма которого расстояние. Данное существительное относится ко второму склонению. Но нужно при его изменении по падежам также учитывать, что оно входит в группу слов на -ие, которые в форме Предложного падежа единственного числа имеют окончание -и, а не -е, как остальные существительные второго склонения.
Предлог на употребляется как с формами Винительного падежа ( на кого? на что? ), так и с формами Предложного падежа ( на ком? на чем? ).
Поэтому, если падеж Винительный, то пишем окончание -е на расстояние:
Нам понадобится транспорт для перевозки груза на это расстояние.
Если падеж Предложный, то окончание будет -и:
Я не могу прочитать вывеску на таком расстоянии.

Слово "расстояние" является существительным среднего рода и чтобы определиться как пишется "на расстояние" или "на расстоянии", с окончанием "е" или же "и", будет зависеть от контекста предложения, а точнее - от падежа самого существительного.
Если в предложении "на расстояни(е/и)" будет находиться в предложном падеже, то пишется - (на чем?)на расстоянии.
У него было очень хорошее зрение, он видел таблички с улицами на  большом расстоянии.
Если же в предложении "на расстояни(е/и) будет находиться в винительном падеже, то пишется - (на  кого? что?) на расстояние.
Иннокентий отвез своего кота на большое расстояние от дома.

Оба варианта могут быть правильными. Тат все дело в контексте предложения и в том какую падежную форму нужно нам будет вставить в то или иное предложение исходя из его структуры.
С предлогом "на" данное существительное может употребляться как в предложном, так и винительном падеже.
Итак, разберем эти два варианта связанных с существительным "расстояние":
Если данное находится в предложном падеже, то есть отвечает оно исходя из своей формы и контекста предложения на вопрос (на чём?), то верно писать "на расстояниИ".
Если предложение потребует от вас использование формы винительного падежа этого слова, то тогда, писать существительное "расстояние" нужно уже с окончанием "е" что как оно отвечает на вопрос (на что?) и верной формой для использования будет уже "на расстояниЕ".   

В предложном падеже (думаю о чём? - о расстоянии).
Пример: "На расстоянии вытянутой руки".
В именительном падеже (есть кто? - расстояние).
Пример: "Расстояние между двумя точками равно пяти метрам".
В винительном падеже (вижу кого? - расстояние).
Пример: "Я понимаю, что расстояние до соседнего дерева мне преодолеть не по силам".

Тут все зависит от контекста. Например, в предложении Я находился от дочери на расстоянии вытянутой руки. пишется на расстоянии. Отвечает на вопрос где? А Если я отошел на расстояние, равное трем метрам, то здесь нужно писать на расстояние. Отвечает на вопрос на сколько?