Слово "погодя" - какая это часть речи?
Примеры предложений со словом "погодя"?

Слово "погодя" - это наречие времени, отвечает на вопрос - когда? Это неизменяемая самостоятельная  часть речи, обозначает признак действия предмета. Производящее слово - глагол начальной формы - что делать? - "погодить".
Значение  слово "погодя" - спустя некоторое (обычно короткое) время, скоро, вскорости, потом.
Обычно наречие погодя используется в сочетаниях: "немного погодя", "чуть погодя".
Примеры предложений с наречием "погодя":
Немного погодя мы с детьми вышли из дома и пошли в зоопарк. "Что ты собираешься теперь делать?", - спросила Вероника чуть погодя. Немного погодя девушка обернулась и посмотрела в сторону удалявшейся фигуры Леонида Сергеевича.