Какой частью речи является слово "производная"?
Так же и  "производный", "производное", "производные"?

Слово в вопросе дано вне контекста, поэтому можно говорить о том, что оно может относиться к двум частям речи:
имя прилагательное, образованное от глагола "производить", напр., производная (какая?) основа слова, имя существительное, образованное переходом прил-го в сущ-е, иное название - субстантивированное прилагательное, найти производную (что?), это математический термин. Что касается словоформ в пояснении к вопросу (не разные слова, а формы одного), то они, как правило, являются прилагательными, напр., производный предлог, производная форма, производное слово.
                                                                              

Урания,
производная - термин матанализа.
Это слово - не что иное как субстантиват, те. прилагательное, субстантивированное в существительное.
Сначала говорили «производная функция», а потом произошла субстантивация.
Таких субстантиватов - полно : учёный, ванная, гостиная.
В матанализе производная достигла можно сказать полной субстантивации,
это слово употребляется только как существительное.
Кроме матанализа прилагательное производный не субстантивировано вообще и остаётся только самим собой.

Производная - это слово с именем "прилагательное", потому что отвечает на вопрос "Какая?". В математичке есть "производная функции", это функция, что показывает изменчивость исходной функции. Вторая и старшие производные функции показывают кривизну исходной функции. Чем сложнее кривая функции, тем больше производных функции можно определить. Есть и "производные" у слов, то есть это однокоренные слова. например: конструкция, реконструкция, конструирование, конструкторский; политика - политический - политик, политизация; полимер - полимеризация, полимерный. Все другие слова, которые вы указали в пояснении - это прилагательные.