Как правильно пишется: "обоими" или "обоями"?
Когда и как писать?
Какие это части речи?
Привести примеры предложений.

Чтобы не ошибиться в написании данных слов, надо знать, к каким частям речи они принадлежат.
Узнать это можно из контекста.
Если мы имеем дело с собирательным числительным мужского или среднего рода оба, то в форме творительного падежа это слово пишется так: "обоИми".
Примеры предложений:
С обоими нарушителями проведена профилактическая беседа. (проведена с кем? с обоими нарушителями; нарушитель - муж.р.)
Проверяющие остались довольны обоими предприятиями торговли. (довольны чем? обоими предприятиями; предприятие - ср.р.)
Если перед нами существительное обои (множ.ч.), то в форме творительного падежа оно пишется так: "обоЯми".
Примеры предложений:
Стены комнаты оклеили зеленоватыми однотонными обоЯми на флизелиновой основе.По совету мастера мы отправились за обоЯми в специализированный магазин.

Перед нами два слова, - две разные части речи.
Рассмотрим их последовательно.
1.Слово "обоими" - это собирательное числительное "оба", мужского или среднего рода, стоящее в падежной форме. А именно - в творительном падеже - чем? - "обоими".
Пример предложения:
Я горжусь своими обоими сыновьями. 2.Слово "обоями" - это существительное "обои", множественного числа (единственного числа слово не имеет), стоящее тоже в творительном падеже - чем? - "обоями".
Например, в предложении:
Что лучше: покрыть стены виниловыми обоями или использовать декоративную штукатурку?Я не очень доволен купленными обоями.