Как правильно говорить и писать деепричастие: "услыша" или "услышав", "услышав" или "услышавши"?
Как объяснить?

С самого начала хотелось бы упомянуть о варианте "услышив" как о неправильном. Можно говорить о том, Что если мы напишем так, то ошибемся не просто грамматически, а даже орфографически. Мы напишем в конце деепричастия неверную гласную, которая не будет соответствовать спряжению глагола. Мы же не говорим "усышили", поэтому и "услышив" писать нельзя. Круг  деепричастных форм, которые мы будем анализировать, сужается.
Вариант "услышав". Он, пожалуй, наиболее применимый и считающийся самым стилистически и грамматически нейтральным. Что это значит? Форму "услышав" можно использовать практически в любом тексте. Например: "услышав меня", "услышав вчера", "услышав от кого-то".
Вариант "услыша". Форма более редка, однако допустима. В моем представлении, сократить форму "услышав", не написав букву "в", можно сейчас в текстах разговорного характера, например, когда мы пишем письмо другу. Отметим, что в литературе 19-го века слово "услыша" применяли более активно.
Вариант "услышавши". Для того, чтобы безошибочно применить в своем тексте форму "услышавши", нужно тонко разбираться в стилистике. Например, если мы пишем заявление и употребляем в нем слово "услышавши", мы явно нарушаем деловой стиль. А в разговорных текстах, подчиняясь их стилистике, слово "услышавши" употребить можно. Например: "Я вчера, о такой новости услышавши, чуть было со страху не наделала глупостей".
                                                                              

Лишь в одном из вариантов, предложенных в вопросе, после согласной "ш" мы видим гласную "и" - "услышив". И этот вариант, как, например, и "услышев", неверен. Отбросим его.
Остаётся для рассмотрения следующее:
"Услыша". Устаревающая, но не ошибочная форма, которая может быть использована в тех случаях, когда мы хотим передать графически разговорную речь. "Услышав". Наиболее подходящая для большинства случаев форма. Это деепричастие, которое можно назвать стилистически нейтральным. "Услышавши". Такую форму язык, если так удобно выразиться, пытается архивировать, допуская лишь в особых для этого случаях.

Деепричастие совершенного вида  от глагола "услышать" образуется в полном соответствии с правилами нашего русского языка,
то есть от основы прошедшего времени глагола при помощи суффиксов "-в, -вши".
В любом случае конечная гласная основы перед самими суффиксами сохраняется, то есть вариант "услышив" с гласной "и" перед суффиксом сразу же исключается из предложенных.
Остальные три варианта вполне имеют право на их употребление.
И тому много примеров из художественной литературы, от великих русских мастеров слова.
Вот из басни "Осёл и соловей" Крылова строчка:
Пушкин, "Капитанская дочка":
Гоголь, повесть "Шинель":
Однако в современном литературном языке предпочтительней употреблять слово "услышав".
Это нейтральная форма, употребляющаяся в любом функциональном стиле языка.
И пример-предложение от Достоевского,  "Преступление и наказание":
И также в деловой речи, разговорной и т.п. Например.
Услышав Вашу точку зрения, я обязательно  учту это при составлении отчёта.
Услышав звуки приближающихся шагов, девушка быстро повернула голову.

Правильно: услышав (нейтральная форма).
Образование деепричастия совершенного вида: у/слыш/а/ть - у/слыш/а/в.
Суффикс А сохраняется, и после гласной добавляется основной (нейтральный) суффикс деепричастия В. Нейтральный суффикс деепричастия ВШИ используется для возвратных глаголов с частицей СЯ: возвратиться - возвратившись.
Форма "услыша" также допускается. Суффикс А/Я является основным для деепричастий несовершенного вида: читать - читая, дышать - дыша, но он также может использоваться и для образования деепричастий совершенного вида: пройти - пройдя. Этот суффикс часто применяется в устойчивых выражениях: сломя голову, скрепя сердце.
Поэтому возможны вариантные формы: прочитав - прочтя, услыша - услышав.
Судя по частотности в Нацкорусе  (428 - 4900), нейтральный суффикс В является основным.
Пример: Услышав (услыша) шум, он обернулся.
Форма "услышавши" не является нейтральной для  глаголов без частицы СЯ и имеет оттенок просторечия или архаичности (например, потерявши плачем).