В каких случаях НЕ пишется раздельно или слитно?
Какое правило?

Смотрел невесело.
Здесь НЕ пишется слитно, так как можно заменить наречие синонимом "грустно".
Нестерпимая жара.
Здесь НЕ пишется слитно, так как без НЕ не употребляется.
Никем не замеченный.
С полным причастием НЕ пишется раздельно, потому что есть зависимое слово.

смотрел невесело, нестерпимая жара,никем не замеченный