В каких случаях после слова "благодарю" ставится запятая? В каких нет?
Объясните правила постановки запятой.

Тут вариантов может быть несколько. Правильность поставки запятой зависит от смысла, в котором употребляется слово "благодарю" в предложении.
Запятая нужна в двух случаях:
если слово употребляется как этикетное междометие, в таком случае его можно заменить словом "спасибо". Тут занятая будет стоять и перед "благодарю" и после.Пример:
Все прошло отлично, благодарю, я бы без вас не справился.
является сокращённый вариантом фразы "Я вас благодарю", в таком случае в предложении есть несколько главных членов, то есть оно является сложным.Пример:
Благодарю, мы отлично провели время.
Запятая не нужна в предложении, где слово "благодарю" связано с другими членами.
Пример:
Я благодарю всех за оказанное внимание.
                                                                              

Посое слова "благодарю" не стоит ставить  запятую лишь в одном случае, если оно связано с иными словами в предложении. К примеру:
1 Сердечно благодарю вас (за что?) за оказанное доверие.
2 Я каждый раз  благодарю брата за помощь.
3 Благодарю за необходимую подсказку.
В сложных предложениях, где слово " благодарю"  заменяет собой  целым выражение "я вас благодарю" , " я тебя благодарю" и является частью сложного предложения, отделяется запятыми.
1 Благодарю,ваша помощь оказалась очень своевременной.
2 Вы пришли вовремя, благодарю, теперь мы можем начинать.
Связки с другими словами в данных примерах нет.

Чтобы понять ставится ли запятая после слова "благодарю", нужно определить к какой части речи оно относится. Это слово отвечает на вопрос "что делаю?" и является глаголом единственного числа настоящего времени: я (сейчас) (что делаю?) благодарю (кого-либо).
Запятая после глагола безусловно может ставиться, например, когда он находится перед вводным словом или предложением или когда стоит на стыке двух предложений или другое. Но с самим словом постановка запятой связана не будет. Она будет связанна с конструкцией самого предложения.
Например: благодарю за внимание! Или: я тебя благодарю, он все понял.

Слово "благодарю" представляет собой сокращённое предложение "(Я) благодарю (тебя, вас, всех...) и т.д.", напр.,  "Благодарю за вашу поддержку" "Благодарю присутствующих за внимание". "Благодарю гостей за оказанную честь.
Но если  после слова "благодарю" следует  предложение  со своим подлежащим, сказуемым и другими членами предложения, то оно отделяется запятой. Напр.: "Благодарю, что (вы) подождали меня". "Благодарю, всё было очень интересно".