Предложение: По берегам реки тянется густой лес.

Чтобы определить падеж имени существительного, нужно научиться правильно задать вопрос и найти в предложении слово, от которого должен быть задан вопрос. Это  является необходимым и достаточным условием для того, чтобы правильно определить, в каком падеже употреблено в предложении любое имя существительное.
Заданное предложение простое, смысл его ясен.  Напрашивается вопрос от глагола  "тянется" к существительному:
"По чему тянется лес?" Это вопрос дательного падежа, следовательно,  и сочетание "по берегам" -- в дательном падеже.
Но можно и по другому признаку определить падеж существительного в этом предложении.
Здесь имя существительное "берег" употреблено в числе множественном и имеет окончание "-ам".
Такое окончание "-ам" (или "-ям") в дательном падеже числа множественного имеют все имена существительные ,
без различия родов и склонений.