Какой частью речи является слово "нате"?
Какое значение слова.
Примеры предложений.

Слово "нате" - это разговорная частица. Используется при обращении к нескольким лицам, или к одному лицу, к котрому  обращаются на "вы".
Частица образовалась путем слияния тоже частицы "на" и постфикса "те" - "нате". Употребление в разговорной речи частицы "нате" обычно сопровождается жестами, обозначающими передачу, вручение какого-либо предмета другому лицу.
Приведем пример предложения с частицей "нате":
Вы хотели  попробовать чёрной икры? - Нате, пробуйте! Также частица "нате" употребляется при выражении удивления, осуждения, разочарования. Обычно эта частица сочетается с местоимением "вам" - "нате вам".
Например:
Нате вам, пожалуйста, - какие мы гордые!