Какими словами и как проверить слово "эпизод"?
Можно ли этими же проверочными словами проверить слово "эпизодический", "эпизодически"?

Важно понимать, что проверочные слова могут помочь только в тех случаях, когда орфограмма находится в корне слова.
В данном случае все существительное эпизод является одновременно и морфемой - корнем.
В слове три слога, ударный третий. А вот в первом и втором в гласных можно допустить ошибку.
К сожалению, проверочные слова подобрать не получится. Слово было заимствовано из французского языка ( épisode ), что, в общем-то, объясняет его написание в русском.
Зато в этом существительном есть проверяемая согласная в корне. Пишем д на конце, так есть проверочные слова, например, эпизоды.
В целом, правописание слова лучше запомнить, так как относится оно к словарным.
А вот в прилагательном и наречии из уточнения к вопросу, которые являются со словом эпизод однокоренными, ударение уже падает на четвертый слог. Гласную в третьем слоге можно проверить словом эпизОд.
                                                                              

В заданном слове ударение приходится на гласную "о" в третьем слоге -- эпизОд.
А вот писать в корне слова гласную "и" или "е" -- это уже вопрос,  нужно как-то его решить.
Однако ни однокоренные слова, ни формы слова не могут помочь нам в этом -- во всех случаях гласный во втором слоге  оказывается в слабой позиции (безударным).
И все потому, что слово не русское, оно заимствовано  из французского языка, как калька от "episode" (во французском появилось  от позднелатинского "episodium", которое заимствовано в свою очередь  из греческого от "epeisodion", что означает  "постороннее").
Этим словом обозначается отдельный случай  из жизни, отдельное событие.
Таким образом, слово заимствованное, по существу это калька французского, поэтому и написание нужно просто запомнить,
при необходимости сверившись со словарями, пока не запомнится.
Проверочными слова "эпизодический", "эпизодически" могут быть только в части конечной согласной "д" в начальной форме существительного "эпизод", хотя еще проще воспользоваться падежными формами этого существительного , как то: эпизодом, об эпизоде,  эпизоды, эпизодами и т.д.