Как следует писать правильно "по звериному" раздельно или через дефис?

Сочетание "по...звериному" может оказаться как прилагательным "звериный" с предлогом "по", так и наречием. Во втором случае это и не сочетание, а одно слово.
Если вы видим в предложении такие, например, фрагменты как: (по какому?) "по звериному следу", "по звериному оскалу", "по звериному обличью", то "по" пишут в отдельности от формы "звериному", поскольку она относится к прилагательным.
Если же в предложении встретились сочетания "по-звериному взвыл", "по-звериному оскалилась" и подобные, то слово "по-звериному", которое пишется с дефисом после "по", является отвечающим на вопрос "как?" наречием.
Для справки: Слитно ("позвериному") не пишется вообще никогда.
                                                                              

Есть имя прилагательное "звериный", которое при  сочетании с именем существительным (звериный оскал, звериный инстинкт ) может употребляться  в различных падежных формах, в том числе и с дательным падежом с предлогом "по".
Например.
Судя по звериному следу на берегу опытный следопыт определил, что  этот берег служит местом  водопоя для львов.
В этом выделенном сочетании между  предлогом и  прилагательным можно дополнительно вставить и другое слово (по свежему звериному следу) или же переставить местами это прилагательное с определяемым существительным (по следу звериному), что совершенно не изменит ни смысла, ни формы целого предложения.
А это свидетельствует о том, что такое сочетание пишется раздельно (в два слова).
Но существует в современном русском  языке и способ образования наречий (это наиболее продуктивный способ) от основ имен прилагательных при помощи специальных суффиксов и приставок.
Это образование наречий при помощи суффикса "-ому", совпадающим с окончанием прилагательного в дательном падеже, и приставкой "по". И здесь между приставкой и прилагательным  невозможно вставить никакое другое слово, не изменив при этом его значения. Образованные таким способом наречия пишутся через дефис -- по-звериному.
Например.
Дед Василий был человек очень мудрый  и даже по-звериному хитрый.

Слово "по*звериному" может быть различными частями речи, от этого и будет зависеть написание слова. Определить часть речи можно по вопросу к слову в предложении.
1) "По-звериному" пишется в том случае, если оно отвечает на вопрос "как?" и является наречием. Согласно правилам русского языка, наречия, образованные от прилагательных (в данном случае от прилагательного "звериный"), оканчивающиеся на -ому, -ему, -ьи, -ски с приставкой по- будут написаны через дефис.
Пример предложения со словом "по-звериному": я решил пройти по-звериному.
2) "По звериному" пишем, если слово отвечает на вопрос "по какому?" и является прилагательным с предлогом "по". В предложение должно быть зависимое слово.
Пример предложения со словами "по звериному": я пошла по (какому?) звериному следу (зав.слово).