Как правильно следует писать-"на закрытии" или "на закрытие"?

В данном случае нужно говорить об имени существительном среднего рода "закрытие" (что?), употребленном в разных падежных формах с предлогом "на":
на закрытие (на что? смысловой вопрос - куда?) - словоформа в винительном падеже, предлог указывает на предмет/цель действия, напр., На закрытие выставки пригласили известного искусствоведа, на закрытии (на чём? смысловой вопрос -  где?) - слово в предложном падеже, предлог при этом указывает на сферу, место, обстановку  действия, напр., На закрытии выставки произошёл небольшой казус.Следовательно, оба варианта словоформ верные, но зависят от речевой ситуации/контекста.
                                                                              

Предложенные варианты написания имени существительного "закрытие" с буквами "е" или "и" на конце имеют место быть и не противоречат друг другу: просто надо смотреть по контексту (содержанию) предложения, в каком падеже употреблено указанное существительное.
Если употребляется винительный падеж и существительное отвечает на вопрос "на что?", то пишем с буквой "е": "на закрытие" - на закрытие кинофестиваля пришло много известных деятелей киноиндустрии.
Если же в предложении имя существительное отвечает на вопрос "на чем?", который подразумевает употребление предложного падежа, то пишем букву "и": "на закрытии" - на закрытии кинофестиваля в зале не было свободных мест .

Правописание данного нам слова будет зависеть от падежа, в котором оно находится в предложении.
Например:
Зашел на закрытиЕ;Винител�ьный падеж -в окончании пишем "е";
Были на закрытиИ; Предложный падеж -в окончании пишем "и".

Начальная форма слова в данном случае закрытие. Это имя существительное среднего рода с окончанием е, значит, относится ко второму склонению.
Однако, чтобы не допустить ошибок в падежных окончаниях при склонении этого существительного, нужно помнить, что внутри второго склонения выделяется группа слов на -ие. Эти слова имеют особенности при изменении по падежам.
Оба варианта в определенных контекстах могут быть правильными.
На чем? - на закрытии ( Предложный падеж ):
На закрытии фестиваля можно было увидеть многих отечественных и зарубежных звёзд.
На что? - на закрытие ( Винительный падеж ):
К сожалению, мои родители не смогли приехать на закрытие смены.

Давайте просклоняем существительное "закрытие":
в имен. падеже будет "закрытие",
в родите. падеже будет "закрытии",
в дательн. падеже будет "закрытию",
в винит. падеже будет "закрытие",
в творит. падеже будет "закрытием",
в предлож. падеже будет "закрытии".
Мы можем написать и сказать "на закрытие" (в данном случае речь идет о винительном падеже) или "на закрытии" (о предложном падеже).
Примеры предложений:
Художник пригласил на закрытие своей выставки только близких друзей. (на что? - на закрытие, винительный падеж).
Все участники фестиваля были на его закрытии. (были на чем ? - на закрытии, предложный падеж).

Ну в данном случае опять же, как и в большинстве подобных случаев, чтобы дать верный ответ необходимо задать вопрос, тогда всё сразу прояснится и встанет на свои места. А задать можно два  вопроса на чём? и на что?, а это значит лишь одно, а именно то, что верны оба варианта написания и зависит от того в какой форме данное выражение или словосочетание употребляется, так как если оно отвечает на вопрос на чём?, то пишем и, так как это будет предложный падеж, ну и ежели на вопрос на что? тогда уже пишем букву е, то бишь на закрытие, это уже будет винительный падеж и соответственно пишется е. Так что здесь случай уникальный, так как и тот, и другой вариант написания может иметь право на существование, так как зависит написание буквы е или и от контекста, то есть в каждом конкретном случае может быть по разному, смотря в каком предложении употребляется и какое значение имеет.

Чтобы правильно написать, надо определить род и склонение, поставить во всех падежах данного склонения. Слово "закрытие" - это существительное среднего рода, значит 2-го склонения.
Окончания "е", "и" могут быть в винительном и предложном падежах.
Значит, имеет место как пример с написанием и окончанием "е", также - "и".
Допустим, такое предложение.
Купили билеты, поэтому можно отправляться на закрытие фестиваля. Задаем вопрос, относительно дополнения в предложении: отправиться на что? - "На закрытие".
Вот другой вариант с предложением.
В этот раз на закрытии фестиваля людей было больше, чем в прошлый раз. Где, на чем было больше людей? - "На закрытии". Это предложный падеж.

В данном случае нам нужно определиться с окончанием в слове "закрытие" при употреблении его с предлогом "на". Есть два варианта - "на закрытие" и "на закрытии".
В первом варианте - "на закрытие" - это винительный падеж и в таком варианте данное слово употребляется - На закрытие (на что?) дачного сезона мы всегда готовим шашлыки.
Второй вариант - "на закрытии" - это предложный падеж и в таком варианте также данное слово употребляется - Все спортсмены были на закрытии (на чем?) соревнований.
Поэтому правильны оба варианта "на закрытие" и "на закрытии" - смотря в каком контексте и предложении они употребляются.

Давайте рассмотрим данный вопрос на примерах.
На закрытие олимпиады прибыла специальная делегация деятелей искусства.
На закрытие летнего сезона мы пригласили большой оркестр народных инструментов.
Здесь можно задать вопрос На что? и выяснить, что слово стоит в винительном падеже, а это значит, что окончание будет -е.
Второй пример.
На закрытии кинофестиваля журналисты встретились с актерами и режиссерами фильма-победителя.
Профессор Федоренко выступил на закрытии симпозиума.
В этом варианте мы имеем дело с с предложным падежом (зададим вопрос к слову: на чем?) и писать правильно надо: на закрытии.

У этих слов значение одинаковое,однако -На закрытии" можно применить так.На закрытии Олимпиады многие зрители не могли сдержать эмоций.Понимаете да? Или - "На закрытие" большого мероприятия пришло очень много народу. Понимаете в чем разница? Пишется и так и этак.В одном случае применяется вопрос ГДЕ? - на закрытии.В другом случае - НА ЧТО?- на закрытие.Применяются разные падежи на одно и тоже существительное.Тепе�рь вы наверное поняли,что эти два слова - применяются.

Оба варианта написания будут верными, нужно смотреть сам контекст предложения.
Приведем такой пример:
Иван зашел на закрытие сезона - задаем вопрос "на что" - "на закрытие", здесь у нас винительный падеж, правильно писать - "на закрытие".
И пример другого предложения:
Родители были на закрытии сезона - ставим вопрос - "на чем" - "на закрытии", в данном случае предложный падеж, значит верно писать "на закрытии".