На попечени*, какое окончание писать -е или -и?
Почему? Объясните свой ответ.
Приведите примеры.

Есть два варианта написания. В зависимости от смысла предложения, можно писать и так и так.
Если можно поставить вопрос "на чем?", то будем писать "на попечении".
Привожу примеры предложений:
Дети лишились родителей и теперь они остались на попечении своих ближайших родственников: дяди и тети.
На попечении у этой женщины находится ребенок - инвалид.
Мальчику дали бесплатный билет на елку, так он является сиротой и находится на попечении у родственников.
В домах престарелых на попечении государства находятся старики и инвалиды.
Если же можно поставить вопросы "на что?", то пишем "на попечение".
Примеры:
Я был отдан на попечение своей старшей сестры и жил в ее квартире.
Мой сосед уезжал в длительную командировку и хотел отдать мне на попечение свою собаку.
Ее родители много работали и, поэтому, отдали ее на попечение бабушки и дедушки.
Князь заботливо передал гостей на попечение своим слугам и удалился дать распоряжения о ночлеге.