Существуют ли такие слова как "егошний" и "еёшный"?

Нету. Зато есть "евоный" и "ейный" (или, в другом варианте, "еёный").
Но если без стеба, то в вашем написании таких слов действительно нет, разве что в каком-нибудь совсем редком и малоизвестном диалекте. И даже в том написании, которое привёл я, - это сильное просторечие, к норме литературного языка никак не относящееся.
                                                                              

Да, существуют. Их, как раз и выдумали существующие невежественные невежи. Ещё ивоношный! В стране столько серости и темноты, что иногда испытываешь к ним какое-то сочувствие и жалость. Правда эти чувства сразу пропадает, когда такая серость начинает спорить м качать свои права. Только добродушие и смиренность им во спасение.

Вы же их написали, семантику этих слов все поняли. Значит, теперь существуют.
Другое дело, что эти слова "нелитературные", нарушают литературные правила словообразования и не приемлимы в деловой переписке.
Зачем их использовать, если стандартные "его" и "её" пишутся быстрее и короче?