Как это решить Сжевать или сживать – как правильно?.

Смотря какое значение имеется ввиду, какой контекст!
Сжевать - если образовано от слова - "жевать" - "сжевать жвачку"
а если от слова - "жить" - тогда сживать, например "сживать со свету". Этот глагол означает "не давать жить", "создавая невыносимые условия".
                                                                              

Оба глагола употребляются в нашей речи, просто они имеют разные лексические значения, от которых  и зависит правописание безударной гласной в корне слов.  И при написании словосочетания или отдельного предложения необходимо обращать внимание именно на смысловое значение этих глаголов.
Например, когда читаем в сказках, как злая мачеха изводит бедную падчерицу придирками, создает ей невыносимые условия в жизни, то имеем в виду, что она не дает ей нормально жить, и используем фразеологизм "сживать со свету".
"Жить => сживать" -- однокоренные глаголы с одним лексическим значением. Пишем с гласной "и" в корне.
Мальчишка схватил булку и торопился побыстрей его сжевать. А тетка увидела, что он жуёт, жует...
Понятно, что в этих предложениях речь идет о "жевании" -- действии по глаголу "жевать  => сжевать".
Пишем гласную "е" в корне.

Верно и так и так, всё зависит от контекста, в котором применяется выражение.
Я так голоден, что готов сжевать (тут форма - жевать) все эти бутерброды, даже не запивая их чаем.
Когда же ты перестанешь сживать (тут - форма жить) со свету свою бедную падчерицу?