Можно ли говорить "он службу служит"?
Можно ли сказать "он отслужил службу"?
Правильно ли говорить "сослужить службу"?
Есть ли речевая ошибка в сочетании "начал служить службу"?
Вопрос касается и церковной службы, но не только её.

Употребление в речи слова "служба" возможно услышать в нескольких значениях.
Говорить "он службу служит"?- часто относят в вопросе относительно прохождения срочной службы по призыву в армию вооруженных сил, МЧС или органов полиции.
Сказать "он отслужил службу"? можно и в отношении призывника в армию и в отношении религиозного обряда в церкви (например "заутренняя" "вечерняя" службы)
Выражение:"сослужить службу" можно услышать в диалоге между людьми, где имеет место просьба, побуждающая к действию о какой-либо услуге, иногда говорят, типа "дружочек, не в службу, а в дружбу".
Речевой ошибки в сочетании "начал служить службу" нет, поскольку глагол и существительное - "служить службу" так сказать ознаменовывает определенное произведенное физическое действие.
                                                                              

Нет, это не тавтология. В Русском Языке (и не только) такие словосочетания допустимы и не являются редкостью. Например:
Петь песнюПисать письмоБежать бегомТереть на тёркеЖарить жаркоеКосить косойитп.