Как решить Тет-а-тет, тетатет или тет а тет - как правильно писать? Какое правило?.

Слово "тет-а-тет" явно иностранного происхождения, которое пришло в русский язык из французского. Дословно это слово (или правильнее сказать сочетание слов) переводится как "голова в голову" или, если обратиться к литературному переводу, то "один на один". Обозначает говорить с глазу на глаз без посторонних свидетелей.
В русском языке это слово стало наречием, отвечающим на вопрос "как?". В общем-то в русском языке правописание наречных сочетаний, образованных от существительных с предлогом между, ними регулируется правилом. Они, согласно этому правилу, пишутся раздельно, кроме исключения точь-в-точь.
Справедливо будет утверждать, что наречие тет-а-тет тоже является исключением, словарным словом, поскольку оно иностранного происхождения. Его просто нужно запомнить и между тремя словами в нем ставится тире.
                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Наедине с кем либо, вдвоем, с глазу на глаз, наедине вдвоём - всё это синонимы наречия "тет-а-тет", которое пишется через дефис и это написание будет правильным.
Пример предложения с использованием такого наречия: Пойдём поговорим с тобой об этой ситуации тет-а-тет.
Более подробно - читайте здесь.

Рассматриваемое слово имеет иноязычное происхождение.
Произносится твердо с двойным ударением на первый и третий слог: [тэт]-а-[тэт]. Поскольку это одно слово, то и раздельным написание быть не может, используются два дефиса: тет-а-тет.
В зависимости от контекста употребления может быть двумя частями речи:
Наречие, в большинстве случаев. Отвечает на вопрос Как? и обозначает наедине, вдвоем, с глазу на глаз. Например, Важные разговоры ведутся в основном тет-а-тет.Существительное мужского рода, означающее то же, что и свидание наедине. Например, Пригласить кого-либо на тет-а-тет.Слово словарное, проверочных не имеет. Правописание следует запомнить.

               "Тет-а-тет" - слово французского происхождения. Это наречие образа действия, неизменяемая самостоятельная часть речи, отвечает на вопрос - как? иди каким образом? Значение его - наедине, вдвоём. 
Наречия, в составе которых повторение двух одинаковых слов (как правило - существительных), между которыми стоит предлог, пишутся по правилам орфографии раздельно - в три слова. Приведём соответствующие примеры: "бок о бок", "день в день", "один на один" и проч.
Но наречие "тет-а-тет" относится к категории исключений. Ряд этих исключений пополняет еще одно наречие, которое тоже пишется через дефисы: "точь-в-точь".
Приведём пример предложения:
Диалог тет-а-тет привёл нас к обоюдному согласию.

Если сообразно французскому языку, откуда пришло в русский выражение тет-а-тет, то вот так, как я написала, через два дефиса. Хотя во французском часто пишут и без них. "tête à tête"
Выражение переговорить тет-а-тет означает посовещаться наедине, без свидетелей, никому больше не разглашая информацию. Оно соответствует русскому "с глазу на глаз", а на французском - "голова к голове", то есть так близко приблизить речевой аппарат, чтобы слышно было только вашему собеседнику.
Интересно, что во Франции это выражение послужило толчком для создания специальной мебели, кресло для сплетен.
Также были карикатурные картинки разговора тет-а-тет в условиях новой моды на шляпки

Тет-а-тет, вот именно так необходимо писать - потому что это правильный вариант. Набрав "тет а те" в строке поиска вашего браузера, вам выдаст правильное написание и оно будет написано через дефис.
Чем чаще пользуешься текстовыми написаниями, тем чаще выдаёт нужные слова. Поэтому стоит не допускать ошибок и не сохранять в варианты неверно написанных вами слов.