"Тут" и "здесь": есть ли разница в правилах русского языка, когда применять слово "тут", а когда слово "здесь"

• в пространственном значении,
• во временнОм значении,
• в ситуативном значении.

Насколько эти слова взаимозаменяемы?
Являются ли они синонимами?

Наречия "тут" и "здесь" являются синонимами. С точки зрения этимологии оба слова -- собственно-русские.
В большинстве случаев они взаимозаменяемы: оба слова обозначают место и время происходящего (пространственное и временнОе значение), а также некоторые обстоятельства (ситуативное значение).
Однако каждое из них все-таки более точно раскрывает смысл сказанного в том или ином конкретном случае. То есть  имеет определенную  область употребления, в которой его предпочтительней использовать.
1) Наречие "здесь" чаще всего указывает на постоянное местонахождение объекта.
Сочетается с глаголами "существовать", "находиться", "трудиться", "работать", "учиться" и т.п.
Например. Мой город Миасс. Здесь я родился, здесь окончил школу, здесь живут мои родители.
2) Наречие "тут"  связано с непостоянным местонахождением действующего лица, с его непостоянными действиями или состоянием. Например. Кто тут последний? Какой же тут беспорядок!
Обычно это наречие используется в вопросительных или риторических предложениях.
Наречие "тут" также указывает на время события, указанного в предыдущем предложении.
Например. Нина пришла в магазин, но тут вспомнила, что забыла дома кошелек.
Главное все-таки в том, что наречие "здесь" относится к литературному варианту речи, а "тут" - просторечное, разговорное.  И мы пользуемся обоими наречиями так, как нам привычнее, как нам хочется, не задумываемся даже. А уж выражение Черномырдина - обычный его ляп, которыми он часто веселил народ.
Эти наречия взаимозаменяемы. Однако они не могут заменяться в устойчивых выражениях:
Одна нога здесь, другая там. Тут как тут. И всё тут. Там и тут. То там, то тут. Не тут-то было.
                                                                              

Тут и здесь -(где?) - наречие, в предложении обстоятельство места.
Это слова разностилевые.
Здесь - общеупотребительный(нейтральный) стиль речи, иначе, это литературная норма языка. Характерно для письменной речи.
Тут  - разговорный стиль речи. Писатели употребляют это слово в художественных прои, как правило, в диалогах, для словесной характеристики героев.
Здесь = тут = синонимы.

Эти слова синонимы.
В разговорной речи,обычно употребляют слова тут,тута,здесь,здеся.
В написании принято употреблять слово здесь,и еще во время диалоговых разговоров ,в литературе,могут применить тут,но это редко.