Как правильно: "усилиться" или "усилится"?

Правильным будут оба варианта и усилиться, и усилится. Все зависит от формы.
Если глагол стоит в неопределенной форме, то нужно писать усилиться с мягким знаком в -ться. Пишется по правилу, где следует задать вопрос "что делать?". Так как в вопросе есть мягкий знак, то и инфинитив пишется с мягким знаком.Пример употребления: Ему следует усилиться, поднажать, если хочет прийти на финиш первым.
А вот второе слово, где мягкого знака нет - это личная форма глагола усилиться. Стоит это глагол в форме 3-го лица единственного числа, имеет окончание -ит и возвратный суффикс -ся. То есть пишется усилится.Пример употребления в предложении: Он обязательно усилится и финиширует первым.
                                                                              

Чтобь понять, как правильно пишется "усилится" или "усилиться", с мягким знаком или нет, следует выяснить грамматическую форму этого глагола.
Синоптики прогнозируют, что к вечеру шторм на море должен усилиться.
В этом предложении к исследуемому слову можно поставить вопрос что сделать?
Значит, это неопределенная форма глагола, признаком которой является типичное окончание -ть несмотря на возвратную частицу -ся.
Согласно правилу орфографии в неопределенной форме возвратных и невозвратных глаголов пишется мягкий знак, например:
Команда должна построиться в шеренгу.
Рассмотрим другое высказывание:
Течение реки, вероятно, усилится после бурных дождей.
Течение что сделает?
А здесь используется форма 3 лица единственного числа этого же глагола, в которой мягкий знак не пишется согласно правилу. Определить это поможет вопрос, заданный к слову.
Оба слова "усилится" и "усилиться" используются в зависимости от смысла контекста.

"Усилиться" или "усилится"
Если рассмотреть эти два варианта, то писать можно оба. Это зависит от того контекста, в котором употребляется данное слово. Я обычно определяю, поставив к слову вопрос.
Если к слову можно поставить вопрос "что сделать?", то писать слово "усилиться" нужно с мягким знаком.
Приведу примеры предложений:
Усилиться - это значит стать более сильным.Войны позволяли завоевателям усилиться в своих владениях и богатствах.Если к слову можно поставить вопрос "что сделает?", то писать слово "усилится" нужно без мягкого знака.
Приведу примеры предложений:
Полководец знал, что ударная мощь его солдат намного усилится, если оружие и боеприпасы подвезут вовремя.Слово "усилится" - это глагол, означающий действие в будущем времени.

Оба глагола "усилится" и "усилиться" - это глаголы, стоящие в возвратной форме, на что нам указывает постфикс "-ся" на конце.
Правильное написание глагола будет зависеть от его грамматической формы.
Приведем примеры предложений для пояснения:
К вечеру дождь, мне кажется, должен усилиться.  Ветер усилится, и станет намного прохладнее. В первом предложении вопрос к глаголу - что сделать? - "усилиться". Это глагол-инфинитив. В вопросе на конце стоит мягкий знак. Следовательно, пишем его в слове перед постфиксом "-ся" - "усилиться".
Во втором предложении вопрос к глаголу - что сделает? - "усилится". Это глагол третьего лица, единственного числа, будущего времени. В вопросе нет мягкого знака на конце, поэтому в самом глаголе он тоже не пишется - "усилится". 

Написание глаголов "усилится" и "усилиться" зависит от смысла предложения.
Рассмотрим первый случай.Например, в предложении: "Сейчас звук должен усилиться", слово "усилиться" пишется с мягким знаком, потому что в вопросе "Звук должен что сделать?", есть мягкий знак.
Рассмотрим другой случай. В предложении: "Дождь вечером усилится", глагол пишется без мягкого знака, так как в вопросе:"Дождь что сделает?", нет мягкого знака.