(Не) нужно
(Не) уместно
Когда пишется слитно, а когда-раздельно?
Какое правило?
Какие предложения можно составить?

"Не нужно" всегда пишется раздельно.
"Неуместно" всегда пишется слитно.
Варианты возможны только если это не наречия, а прилагательные. В таких случаях чаще всего надо опираться на контекст. Например, "Вася оставил дома ненужные книжки" - тут всё просто, после "ненужные" нет никакого уточнения, поэтому - слитно. А вот если "Вася выкинул не нужные ему сегодня книжки" - уже раздельно, потому что тут есть уточнение ("сегодня") и поэтому используется отрицательная частицы "не".
То же самое и с "неуместно". Если это прилагательное, то опять же обычно используется слитное написание, но если есть уточнение и отрицание ("Не стоит произносить слова, в данной обстановке не уместные"), то - раздельно.
                                                                              

Слитное или раздельное написание "не" с данными словами зависит от того, какой частью речи или членом предложения они являются, а "не" - является приставкой или отрицательной частицей. Нужно помнить, что есть слова и без "не": нужный, уместный. А это и есть показатель двоякого написания.
Ненужно - пишем слитно, не - приставка, входит в состав наречия, напр., Снова он написал ненужно много вместо краткого ответа.
Не нужно - пишем раздельно, "не" - частица, а слово употребляется в значении сказуемого, напр., Мне не нужно долго объяснять.
Неуместно - пишем слитно приставку "не", если это краткая форма от полного "неуместный" и нет противопоставления, напр., Молчание твоё неуместно (каково?). Слитно пишем и в случае наречия от названного прил-го, напр., Он неуместно (как?) сделал замечание.
Не уместно - пишем раздельно, если есть противопоставление при кратком прил-м или наречии, напр., слово не уместно, а абсолютно лишне.
Раздельно напишем оба эти примера и при наличии усиливающих слов, напр., Подлежащее совсем не нужно, Высказывание вовсе не уместно.
Есть и ещё один случай раздельного написания: при наличии повторяющегося союза ни... ни, напр., Сомнение не нужно ни мне, ни ему/Тире не уместно ни здесь, ни там.