Как правильно: увещивать или увещевать?
Как суффикс "ива" или "ева"?
Как объяснить правописание?
УвещЕвать или увещИвать?

Правильно пишется "увещевать". Это глагол, образованный от слова "увещевание", которое в свою очередь происходит от глагола "вещевать" (говорить, убеждать). Слово "увещевать" означает призывать, убеждать, уговаривать.
Слово "увещивать" неправильное, вызванным возможным восприятием приставки "у-" как формы слияния со словом "вещивать".