Как пишется слово: "ручиньки" или "рученьки"?
"Рученьки белые" или "ручиньки белые"? 
"Рученька" в смысле небольшая нежная рука, ручка.

Уменьшительно-ласкательная форма существительного "ручка" образуется с помощью суффикса. В предложенных вариантах используется суффикс "еньк" и "иньк".
В русском языке суффикс "иньк" используется только в трех словах:паинька, заинька, баиньки. Поэтому правильно "рученька". Суффикс "еньк" используется, если корень слова оканчивается на мягкий согласный и шипящщий. В случае твердого  окончания используем суффикс "оньк".
Белые рученьки.
Нежные рученьки.
Часто вспоминаю как в детстве нежные мамины рученьки лечили мои раны и ссадины,гладили мою непутевую голову.
Мамины рученьки.
Детские рученьки.
Скрюченые, не красивые рученьки.