Удостоить награды или наградой, как правильно?

В предлагаемом вопросе правильность написания словосочетания будет зависеть от используемого в предложении падежа имени существительного "награда". Поэтому для начала можно вспомнить склонение данного слова:
что? - награда (именительный падеж);
чего? - награды (родительный падеж);
чему? - награде (дательный падеж);
что? - награду (винительный падеж);
чем? - наградой (творительный падеж;
(о) чём? - (о) награде (предложный падеж).
Из предлагаемых в вопросе вариантов использования слова "награда" к перечисленным падежам можно отнести вариант родительного падежа (награды) и творительного (наградой). Остаётся только определиться, в каком падеже данное слово может употребляться в предложении с глаголом "удостоить": самое простое, приходящее на ум, это связка удостоить чем (?) - наградой. Вариант использования в родительном падеже - удостоить чего (?) - награды, как-то звучит уже не по-русски. Хотя, конечно, при использовании другой формы глагола (например, не "удостоить", а "удостоен") вполне себе допускает наличия уже родительного падежа имени существительного "награда": удостоен чего (?) - награды.
                                                                              

Очевидно, что следует исходить из того, на какой вопрос отвечает совершенный вид глагола "удостоить" (чего? или чем?). В первом случае, правильным ответом будет "награды", во втором подойдет "наградой".

Можно удостоить награды и удостоить наградой в зависимости от речевой ситуации в контексте.
Разберемся, в каких случаях нужно удостоить (чего?) награды, а когда удостоить (чем?) наградой.
Глагол "удостоить" управляет существительным "награды" в форме родительного падежа, если говорится о признании высоких заслуг, мастерства, которое выражается в награждении медалью, дипломом и пр.
Спортсмена следует удостоить награды за проявленное мастерство.
Глагол "удостоить" управляет существительным в форме творительного падежа "наградой", когда речь идет о проявленном внимании, о выделении выдающегося признака.
Девушка удостоила наградой - взглядом прекрасных карих глаз.

Зависит от того, что хотите сказать: об условии (удостоен чего?) либо об отличии (удостоен чем?).
Сначала другой пример: "удостоен ответа". Тут две стороны: 1) я удостоен отвечать, то есть мне предоставляется возможность ответа; 2) я удостоен, чтобы мне кто-то другой дал ответ.
Либо я удостоен, чтобы что-то сделать, либо для меня что-то делается.
Но. Есть ещё одна черта. Пример с не "удостоен", а с "достоин": "я достоин награды". Здесь тоже две стороны "я достоин награды": заслужил (1) или заслуживаю (2); уже заслужил и заслуживаю (ещё не получив).
Заслуживаю и заслужил награды по каким-то признакам. Удостоен = заслужил (а не заслуживаю; то есть "удостоен" говорит уже о полученной награде). Удостоен - заслужил награду по каким-то признакам, условиям.
"Удостоен награды" - тут подчёркиваются условия заслуживания награды.
"Удостоен наградой" - таким-то знаком почета, знаком признания, (удостоен определённым знаком отличия).
Есть разница: "заслужил" и "знаком отличия"? Для первого "удостоен награды" (чего?). Для второго "удостоен наградой" (чем?).

При выборе падежа существительного стоит учитывать смысл предложения.
Если речь о том, что кому-то присваивают награду, как некий материальный объект, грамоту или медаль, то используется слово в родительном падеже - "удостоить награды". Потому в официальных документах или исторических справках будет использован такой вариант.
Если же награда - это нечто в общем значении, не подразумевает какой-то вещи, то допустимо написание "удостоить наградой". Потому, если речь о художественной литературе, там, где нет официальных лиц, которые могут раздавать звания и ордена, а есть просто такое внимание, то слово будет в творительном падеже.

Верным вариантом является "Удостоить наградой", а форма существительного "награда", здесь должно стоять именно в творительном падеже, так как в данный падеж, его как раз таки ставит глагол "удостоить", в связке с которым существительное "награда" может стоять только в творительном падеже.