Как правильно - прошу прощения или прошу извинения?
Когда как говорят: прощения или извинения?
Есть ли разница в смыслах прощение и извинение?
Правильно ли говорить: прошу извинения?

Именно между "прошу прощения" и "прошу извинения", в таких словосочетаниях,  разницы не видно, значения "простить", "извинить" в какой-то части совпадают. В обоих случаях человек просит снять вину с него.
Прощение/извинение можно: -просить; -дать в ответ на просьбу о нём или предполагая, что человек в нём нуждается; -получить, от того, у кого просишь. Просить в форме "Простите" или "Прошу прощения", "Извините", "Прошу извинить", "Прошу у вас (или вашего) извинения"
А вот "Приношу (свои) извинения", хотя внешне может показаться тем же, что и просьба об извинении/прощении только более церемонным, -- тут м.б. и не очевидна просьба, а только признание вины, мол, "виноват, признаю, а там уж как знаете, извините/простите - хорошо, нет - тоже сойдёт".
Помогает понять этот вопрос ещё и такой момент: приставка "из" имеет разные значения. В слове "извинить" может придавать смысл "выхода наружу, из чего-то", или вывода, -- из состояния, из состояния вины, избавления от чувства её; 
а может указывать на крайнюю степень состояния, чувства: изголодался, измучился=измучил=си�льно мучил - себя, извинился=извинил=си�льно винил - себя. Поэтому человек говорит об извинении, как о том, что он себя сильно винит, до крайности -- "извиняюсь" или как о просьбе избавить от чувства вины, вывести из этого состояния -- "извините".
                                                                              

Вежливость, учтивость в отношениях между людьми, зачастую даже не знакомыми, это всегда лучше, чем бестактность, неучтивость, грубость, игнорирование.
И есть фразы, которые характеризуют первую группу людей. Прошу прщения, прошу извинения, это из  лексикона вежлмвых, тактичных, тех, кто предупредителен. По смыслу они одинаковы. Но, лично для меня, " прошу прощения" более приемлемо, а выражение " прошу извинения" никогда не употребляю. " Извините", " извиняюсь", это да, приемлемо, но  никак не " прошу извинения". А фраза "прошу прощения" воспринимается как-то естественнее, искреннее.
Но в любом случае, если человек извиняется, это лучше, чем совсем никак.

В общении чаще всего встречала и встречаю словосочетание "прошу прощения", а вот "прошу извинения" думаю, что  не очень распространенное выражение. Хотя сказать что оно не допустимо в правильной речи, нет оснований. Часто "прошу прощения" человек может сказать, когда просит уступить ему дорогу или место у витрины магазина, например. В любом случае и "прошу прощения" и "прошу извинения" свидетельствует о вежливости и корректности человека.