Я живу в деревне у одинокой женщины, моей родственницы, в большой чистой избе.
Почему "моей родственницы" выделяется запятыми? Какое это правило?

В Вашем предложении имеется пояснительная конструкция. Запятые нужны, чтобы обособить, то есть отграничить пояснительную конструкцию-словосочетание «моей родственницы», которая нужна, чтобы прояснить, кто же такая эта одинокая женщина, у которой живёт лицо, обозначенное подлежащим "я". Можно было бы перед местоимением "моей" добавить "а именно" («...у одинокой женщины, а именно у моей родственницы...»).