Помогите решить Как правильно сказать: "подвинуть" или "пододвинуть"?.

Смотря какое значение нужно придать глаголу в предложении. Русский язык в этом отношении довольно гибок.
Представим себе, что на столе (например, посередине стола) стоит тарелка. Нам нужно эту тарелку куда-нибудь переместить (двинуть), а потом описать своё действие словами. Это должно выглядеть так:
Если на другое место, то передвинуть. Если подальше от себя, то отодвинуть. Если на 5 или 10 сантиметров (или на сколько угодно) правее, то подвинуть. Если на любое количество сантиметров левее, то тоже подвинуть. Если ближе к себе или к кому-то, то пододвинуть (к нему). Если совсем на чуть-чуть, то сдвинуть.Если за какой-то другой предмет, то задвинуть. Ну, и так далее. Вместо тарелки мог оказаться любой другой предмет. Но схематически мы наглядно покажем перемещение и его описание именно тарелки. На рисунке видна разница между "пододвинуть" (к чему-то) и "подвинуть" (куда угодно):
                                                                              

В принципе оба глагола и "подвинуть" и "пододвинуть" реально существуют и в какой-то степени являются синонимами, но не стопроцентными.Интересный в этьом смысле ответ уважаемой ЗВЕНКИ, где довольно правильно и оригинально оценены оттенки употребления того или иного глагола.Но возьмем для проверки первичный глагол в неопределенной форме - двинуть, который вариативно соотносится с глаголом двигать. Именно наши глаголы "подвинуть" и "пододвинуть" с разными приставками -по- и -подо- образованы от данного глагола, но глагол подвинуть - реально означает небольшое, несущественное движение в сторону, подвинуть соседа, подвинуть скамейку, подвинуть стул, а вот пододвинуть - означает приблизить предмет или действие на более существенное расстояние к данному объекту - пододвинуть чашку, тарелку, кушанье к себе(скажем, вкусную толму по-эчмиадзински). Вот такое различие в употреблении.

Ваши оба варианта, в вопросе, являются верными,то есть говорить можно и так и так, а для однозначного ответа нужно видеть предложение полностью.
Если имеется ввиду, что-то, или кого-то обогнать, обойти при получении некой должности, то говорим "подвинуть", но не в прямом смысле.
Если что-то приблизить к себе (в этом смысле), то пододвинуть.

Оба приведенных вами слова в вопросе, существуют в русском языке. При этом вам надо знать и то, что у этих слов, имеются семантические различия. Так слово "подвинуть", означает по своей семантике в прямом смысле то, что подвигая предмет, вы перемещаете его в ту или иную сторону. Слово же "пододвинуть", означает уже то, что вы подвигаете предмет ближе к вам самим и он после этого, становится к вам ближе чем был до этого.

Правильны будут оба варианта, но означают они немного разные вещи. "Подвинуть" - это просто переместить сто-то в другое место, а "пододвинуть" это означает переместить что-то в конкретном направлении, или ближе к какому-то другому объекту.