Как это решить Какова этимология наречия "напропалую"?.

Как совершенно верно отмечено в вопросе, данное слово является наречием.
В современном русском языке оно чаще всего употребляется в значении "не взирая ни на что, очертя голову, отчаянно" и так далее. Встречается оно чаще в разговорной речи, в официальных документах, конечно же, не употребляется.
Для понимания этимологии, то есть происхождения, данного наречия, рассмотрим, из  каких морфем оно состоит:
на-пропал-ую - приставка-корень-суффикс.
Поскольку наречия - неизменяемые части речи, морфема -ую является именно суффиксом, а не окончанием.
Наречие напропалую было образовано от сочетания предлога на и полной формы имени прилагательного пропалая в Винительном падеже, но в наречии часть -ую стала суффиксом.
Имя прилагательное пропалой со значением "пропащий, погибший" в современном русском языке не употребляется.
Предположительно, слово из вопроса пришло из лексикона любителей азартных игр ( картежников ).