Выберите вариант ответа:

• Вскоре все сообщники преступника были разоблачены.
• Ты обратно допускаешь одну и ту же ошибку!
• Каждая деталь играет важную роль в этом запутанном деле.
• Поставьте, пожалуйста, подпись под заявлением.
• Он был полный невежда в живописи.

В одном из этих предложений действительно допущена ошибка в употреблении слова.
Так говорить и писать не стоит, потому что это безграмотно.
Обратно допускать ошибку - это неверное словосочетание.
Нужно говорить: "Ты снова или опять допускаешь одну и ту же ошибку!"
                                                                              

Очень интересный вопрос задает автор.
Из предложенных им вариантов, предложение с ошибкой следующее:
В этом случае не верно употреблять слово: обратно.
Лучше заменить его на:
Снова
Опять
В который раз.
Ты, в который раз допускаешь одну и ту же ошибку! Или
Ты опять допускаешь одну и ту же ошибку

Также советую писать вместо:"Поставьте,по�жалуйста,подпись под заявлением";"Подпиши�те,пожалуйста,под заявлением".